Найдите корни уравнения: а) (3x-2)/(x-1) - (2x+3)/(x+3) = (12x+4)/(x^2+2x-3)

а) Найди общий знаменатель: $(x-1)(x+3)$. $$ \frac{(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3} $$ Заметь, что $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$. Значит, знаменатели одинаковые. Можно приравнять числители. $$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$ Раскрой скобки: $$(3x^2+9x-2x-6) - (2x^2-2x+3x-3) = 12x+4$$ $$3x^2+7x-6 - (2x^2+x-3) = 12x+4$$ $$3x^2+7x-6 - 2x^2-x+3 = 12x+4$$ $$x^2+6x-3 = 12x+4$$ Перенеси все в одну сторону: $$x^2+6x-3-12x-4=0$$ $$x^2-6x-7=0$$ Найди корни квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: $$x_1+x_2 = 6$$ $$x_1 \cdot x_2 = -7$$ Корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$. Теперь нужно проверить, не обращают ли корни знаменатели в ноль. Знаменатель $(x-1)(x+3)$. Если $x=7$: $(7-1)(7+3) = 6 \cdot 10 = 60 \neq 0$. Корень подходит. Если $x=-1$: $(-1-1)(-1+3) = -2 \cdot 2 = -4 \neq 0$. Корень подходит. **Ответ:** $x_1 = 7$, $x_2 = -1$ б) Перенеси все члены уравнения в левую часть: $$ \frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0 $$ Разложи знаменатель $x^2+4x-21$ на множители. Можно найти корни квадратного уравнения $x^2+4x-21=0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$. $\sqrt{D}=10$. $$x_1 = \frac{-4+10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-4-10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ Значит, $x^2+4x-21 = (x-3)(x+7)$. Подставь это в уравнение: $$ \frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{(x-3)(x+7)} = 0 $$ Общий знаменатель $(x-3)(x+7)$. Приведи дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63}{(x-3)(x+7)} = 0 $$ Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условия на $x$: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$. Реши уравнение для числителя: $$(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63 = 0$$ Раскрой скобки: $$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$$ $$(5x^2 - 16x + 3) - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$$ $$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$$ $$3x^2 - 32x + 52 = 0$$ Найди корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 - 624 = 400$. $\sqrt{D}=20$. $$x_1 = \frac{32 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$ $$x_2 = \frac{32 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$ Проверь, чтобы корни не совпадали с запрещенными значениями $x=3$ и $x=-7$. $x_1 = \frac{26}{3} \approx 8.67 \neq 3, -7$. Корень подходит. $x_2 = 2 \neq 3, -7$. Корень подходит. **Ответ:** $x_1 = \frac{26}{3}$, $x_2 = 2$ в) Допущение: в последней дроби в знаменателе должно быть $x^3-2x^2-4x-8$, а не $x^3+2x^2-4x-8$. $$ \frac{x}{x^2+4x+4} = \frac{4}{x^2-4} - \frac{16}{x^3-2x^2-4x-8} $$ Разложи знаменатели на множители: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ $x^3-2x^2-4x-8 = x^2(x-2) - 4(x-2) = (x^2-4)(x-2) = (x-2)(x+2)(x-2) = (x-2)^2(x+2)$ Подставь это в уравнение: $$ \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{(x-2)^2(x+2)} $$ Общий знаменатель: $(x-2)^2(x+2)^2$. Приведи дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x(x-2)^2}{(x+2)^2(x-2)^2} = \frac{4(x+2)(x-2)}{(x-2)^2(x+2)^2} - \frac{16(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2} $$ Условия на $x$: $(x-2)^2(x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$. Приравняй числители: $$ x(x-2)^2 = 4(x+2)(x-2) - 16(x+2) $$ $$ x(x^2-4x+4) = 4(x^2-4) - (16x+32) $$ $$ x^3-4x^2+4x = 4x^2-16-16x-32 $$ $$ x^3-4x^2+4x = 4x^2-16x-48 $$ Перенеси все в левую часть: $$ x^3-4x^2-4x^2+4x+16x+48 = 0 $$ $$ x^3-8x^2+20x+48 = 0 $$ Попробуй найти целые корни, подставив делители 48. Если $x=-2$: $(-2)^3 - 8(-2)^2 + 20(-2) + 48 = -8 - 8(4) - 40 + 48 = -8 - 32 - 40 + 48 = -80 + 48 = -32 \neq 0$. (Заметь: $x=-2$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Это мы уже учли в условиях) Раздели многочлен $x^3-8x^2+20x+48$ на $(x+2)$ (если бы $x=-2$ был корнем, но он не может быть). Нам нужно было разложить знаменатель $x^3+2x^2-4x-8$. Если это исходный знаменатель, то: $x^3+2x^2-4x-8 = x^2(x+2) - 4(x+2) = (x^2-4)(x+2) = (x-2)(x+2)(x+2) = (x-2)(x+2)^2$ Давай перерешаем с этим знаменателем: $$ \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{(x-2)(x+2)^2} $$ Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)^2$. Условия на $x$: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Приведи дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x(x-2)}{(x+2)^2(x-2)} = \frac{4(x+2)}{(x-2)(x+2)^2} - \frac{16}{(x-2)(x+2)^2} $$ Приравняй числители: $$ x(x-2) = 4(x+2) - 16 $$ $$ x^2-2x = 4x+8-16 $$ $$ x^2-2x = 4x-8 $$ Перенеси все в левую часть: $$ x^2-2x-4x+8=0 $$ $$ x^2-6x+8=0 $$ Найди корни квадратного уравнения. По теореме Виета: $$x_1+x_2 = 6$$ $$x_1 \cdot x_2 = 8$$ Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 2$. Проверь условия на $x$: $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Корень $x_1 = 4$ подходит. Корень $x_2 = 2$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. **Ответ:** $x = 4$