Найди корни уравнения: а) $\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$

а) Найди корни уравнения: $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$ Сначала найдём, при каких значениях $x$ знаменатель не равен нулю. Знаменатели: $x-1$, $x+3$, $x^2+2x-3$. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$. Значит, $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$, и $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Теперь приведём все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$: $$\frac{(3x-2)(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}$$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая, что $x \neq 1$ и $x \neq -3$: $$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$ Раскроем скобки: $$(3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x+4$$ $$(3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x+4$$ Уберём скобки, изменив знаки во второй: $$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x+4$$ Приведём подобные слагаемые: $$x^2 + 6x - 3 = 12x+4$$ Перенесём все члены в левую часть: $$x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0$$ $$x^2 - 6x - 7 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Оба корня $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$ не равны $1$ или $-3$, поэтому они являются решениями уравнения. **Ответ: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$** б) Найди корни уравнения: $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0$$ Сначала найдём, при каких значениях $x$ знаменатель не равен нулю. Знаменатели: $x+7$, $x-3$, $x^2+4x-21$. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2+4x-21 = (x+7)(x-3)$. Значит, $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$, и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Теперь приведём все дроби к общему знаменателю $(x+7)(x-3)$: $$\frac{(5x-1)(x-3)}{(x+7)(x-3)} - \frac{(2x+2)(x+7)}{(x+7)(x-3)} + \frac{63}{(x+7)(x-3)} = 0$$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая, что $x \neq -7$ и $x \neq 3$: $$(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63 = 0$$ Раскроем скобки: $$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$$ $$(5x^2 - 16x + 3) - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$$ Уберём скобки, изменив знаки во второй: $$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$$ Приведём подобные слагаемые: $$3x^2 - 32x + 52 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4(3)(52) = 1024 - 624 = 400$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-32) + \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32 + 20}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-32) - \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32 - 20}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ Оба корня $x_1 = \frac{26}{3}$ и $x_2 = 2$ не равны $-7$ или $3$, поэтому они являются решениями уравнения. **Ответ: $x_1 = \frac{26}{3}$, $x_2 = 2$**