Найдите корни уравнения $\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$

291. Найдите корни уравнения: а) $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$ **Допущение:** В условии не указан знак перед "$\\frac{12x+4}{x^2+2x-3}$", по виду задания предполагается, что он равен. Если это не так, решение может измениться. Разложим знаменатель последней дроби: $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$. Тогда уравнение примет вид: $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}$$ Найдём общий знаменатель: $(x-1)(x+3)$. Дополнительные множители для первой дроби: $(x+3)$, для второй: $(x-1)$. $$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$ Раскроем скобки: $$(3x^2+9x-2x-6) - (2x^2-2x+3x-3) = 12x+4$$ $$(3x^2+7x-6) - (2x^2+x-3) = 12x+4$$ $$3x^2+7x-6 - 2x^2-x+3 = 12x+4$$ $$x^2+6x-3 = 12x+4$$ Перенесём все члены в левую часть: $$x^2+6x-3-12x-4 = 0$$ $$x^2-6x-7 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ Проверим, не обращают ли корни знаменатели в ноль: Знаменатели: $(x-1)$ и $(x+3)$. Если $x=1$, то $x-1=0$. Значит, $x=1$ не является корнем. Если $x=-3$, то $x+3=0$. Значит, $x=-3$ не является корнем. Наши корни $x_1=-1$ и $x_2=7$ не обращают знаменатели в ноль. **Ответ:** $x_1=-1, x_2=7$