В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5, AC = 9. Найдите AB.

Нам дан прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C$ равен $90^ ext{o}$. Мы знаем, что $\sin A = \frac{4}{5}$ и $AC = 9$. В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ — это отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. То есть $\sin A = \frac{BC}{AB}$. Косинус угла $A$ — это отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$. То есть $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Мы можем найти $\cos A$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$: $$ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A $$ $$ \cos^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 $$ $$ \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} $$ $$ \cos^2 A = \frac{25 - 16}{25} $$ $$ \cos^2 A = \frac{9}{25} $$ $$ \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $$ (Так как $A$ — это угол в прямоугольном треугольнике, он острый, и его косинус положительный). Теперь, используя формулу для $\cos A$: $$ \cos A = \frac{AC}{AB} $$ $$ \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} $$ Чтобы найти $AB$, умножим обе стороны на $5AB$: $$ 3 \cdot AB = 9 \cdot 5 $$ $$ 3AB = 45 $$ $$ AB = \frac{45}{3} $$ $$ AB = 15 $$ **Ответ: 15**