13 а) Решите уравнение: cos² x + sin²(x - π/4) = 1/2. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [5π; 6π].

а) Решим уравнение $\cos^2 x + \sin^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$. Воспользуемся формулами понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. $\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos(2x - \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1}{2}$ $1 + \cos 2x + 1 - \cos(2x - \frac{\pi}{2}) = 1$ $1 + \cos 2x - \sin 2x = 0$ (так как $\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin 2x$) $\cos 2x - \sin 2x = -1$ Разделим на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 1) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 2x = -\pi + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на промежутке $[5\pi; 6\pi]$. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$: $5\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le 6\pi \Rightarrow 5 \le \frac{1}{4} + k \le 6 \Rightarrow 4,75 \le k \le 5,75$. Целое $k = 5$. $x_1 = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{21\pi}{4} = 5,25\pi$ Для $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$: $5\pi \le -\frac{\pi}{2} + \pi k \le 6\pi \Rightarrow 5 \le -0,5 + k \le 6 \Rightarrow 5,5 \le k \le 6,5$. Целое $k = 6$. $x_2 = -\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{11\pi}{2} = 5,5\pi$ **Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{21\pi}{4}, \frac{11\pi}{2}$.**