а) Решите уравнение 2cos²x - 3sin(-x) - 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. б) $\frac{5\pi}{2}, \frac{13\pi}{6}$. **Решение:** **а)** $2\cos^2 x - 3\sin(-x) - 3 = 0$ 1. Используем нечётность синуса: $\sin(-x) = -\sin x$. Уравнение примет вид: $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ 2. Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ (основное тригонометрическое тождество): $2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$ $2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ $-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$ $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ 3. Введём замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$ $t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$; $t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ 4. Обратная замена: - $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. - $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. (Корни можно записать отдельно: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$). **б)** Отберём корни на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$: 1. Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: - $k = 1: x = \frac{5\pi}{2}$ (входит) - $k = 2: x = \frac{9\pi}{2} = 4,5\pi$ (не входит) 2. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: - $n = 1: x = \frac{13\pi}{6} = 2\frac{1}{6}\pi$ (не входит, так как $2\frac{1}{6} < 2,5$) - $n = 2: x = \frac{25\pi}{6} = 4\frac{1}{6}\pi$ (не входит) (Проверим $n=1$ точнее: $\frac{13}{6} \approx 2,16$, а $\frac{5}{2} = 2,5$. Не входит). 3. Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: - $n = 1: x = \frac{17\pi}{6} = 2\frac{5}{6}\pi$. Сравним с $\frac{5}{2}\pi$: $2\frac{5}{6} > 2,5$, значит **входит**. - $n = 2: x > 4\pi$ (не входит)