Реши уравнение cos²(2π/3 - x) = cos²(2π/3 + x) и найди все его корни, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

7. а) Решим уравнение $\cos^2(\frac{2\pi}{3} - x) = \cos^2(\frac{2\pi}{3} + x)$. Используем формулу $\cos^2(a) = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$. Тогда уравнение можно переписать как: $\frac{1 + \cos(2(\frac{2\pi}{3} - x))}{2} = \frac{1 + \cos(2(\frac{2\pi}{3} + x))}{2}$ $1 + \cos(\frac{4\pi}{3} - 2x) = 1 + \cos(\frac{4\pi}{3} + 2x)$ $\cos(\frac{4\pi}{3} - 2x) = \cos(\frac{4\pi}{3} + 2x)$ Используем формулу для решения уравнения $\cos(a) = \cos(b)$, то есть $a = \pm b + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда: $\frac{4\pi}{3} - 2x = \pm (\frac{4\pi}{3} + 2x) + 2\pi k$ Рассмотрим два случая: 1) $\frac{4\pi}{3} - 2x = \frac{4\pi}{3} + 2x + 2\pi k$ $-2x = 2x + 2\pi k$ $-4x = 2\pi k$ $x = -\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\frac{4\pi}{3} - 2x = -(\frac{4\pi}{3} + 2x) + 2\pi k$ $\frac{4\pi}{3} - 2x = -\frac{4\pi}{3} - 2x + 2\pi k$ $\frac{4\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ $\frac{8\pi}{3} = 2\pi k$ $k = \frac{4}{3}$ Так как $k$ не является целым числом, этот случай не дает решений. Таким образом, решение уравнения: $x = -\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$. $x = -\frac{\pi k}{2}$ Подставим значения $k$, чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$. Если $k = 1$, то $x = -\frac{\pi}{2}$, не принадлежит отрезку. Если $k = 2$, то $x = -\pi$, принадлежит отрезку. Если $k = 3$, то $x = -\frac{3\pi}{2}$, принадлежит отрезку. Если $k = 4$, то $x = -2\pi$, не принадлежит отрезку. Если $k = 5$, то $x = -\frac{5\pi}{2}$, принадлежит отрезку. Таким образом, корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$: $- \pi, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$. **Ответ:** a) $x = -\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ b) $- \pi, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$