а) Решите уравнение 6 cos^2 x + 5√2 sin x + 2 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

а) Решим уравнение $6 \cos^2 x + 5\sqrt{2} \sin x + 2 = 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $6(1 - \sin^2 x) + 5\sqrt{2} \sin x + 2 = 0$ $6 - 6\sin^2 x + 5\sqrt{2} \sin x + 2 = 0$ $-6\sin^2 x + 5\sqrt{2} \sin x + 8 = 0$ $6\sin^2 x - 5\sqrt{2} \sin x - 8 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. Тогда: $6t^2 - 5\sqrt{2}t - 8 = 0$ $D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-8) = 50 + 192 = 242 = (11\sqrt{2})^2$ $t_1 = \frac{5\sqrt{2} + 11\sqrt{2}}{12} = \frac{16\sqrt{2}}{12} = \frac{4\sqrt{2}}{3} > 1$ (не подходит) $t_2 = \frac{5\sqrt{2} - 11\sqrt{2}}{12} = -\frac{6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Обратная замена: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ Это можно записать как: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) Отберем корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$: 1. Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ 2. Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: При $k=1$: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ При $k=2$: $x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4} > \frac{5\pi}{2}$ (не подходит) **Ответ: а) $(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.**