13. а) Решите уравнение √3 sin(x - π) - cos 2x + 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

а) Для решения уравнения $\sqrt{3} \sin(x - \pi) - \cos 2x + 1 = 0$ воспользуемся формулой приведения $\sin(x - \pi) = -\sin x$ и формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. 1. Преобразуем уравнение: $-\sqrt{3} \sin x - (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$ $-\sqrt{3} \sin x - 1 + 2\sin^2 x + 1 = 0$ $2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = 0$ 2. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$ 3. Получаем два уравнения: - $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ - $2\sin x = \sqrt{3} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$. 1. Для $x = \pi k$: - $k=3 \implies x = 3\pi$ (принадлежит) - $k=4 \implies x = 4\pi$ (принадлежит) 2. Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: - $n=1 \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 2,33\pi < 2,5\pi$ (не принадлежит) - $n=2 \implies x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} > 4\pi$ (не принадлежит) 3. Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: - $n=1 \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 2,66\pi$ (принадлежит, так как $2,5\pi < 2,66\pi < 4\pi$) Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{8\pi}{3}; 3\pi; 4\pi$.