224 Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите площадь сечения... 225 Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Question

Вопрос:

224 Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите площадь сечения... 225 Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

224. Рассмотрим правильную четырёхугольную призму. В её основании лежит квадрат. Пусть $a$ — сторона основания, $d = a\sqrt{2}$ — диагональ основания. 1. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю призмы $L$, её проекцией на основание (диагональю основания $d$) и высотой $H$: $H = d \cdot \tan(60^{\circ}) = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см. 2. Сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, является прямоугольником со сторонами $a$ и $l$, где $l$ — диагональ боковой грани. 3. Найдём сторону основания $a$: $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow a = 4$ см. 4. Найдём диагональ боковой грани $l$: $l = \sqrt{a^2 + H^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см. 5. Площадь сечения $S$: $S = a \cdot l = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}$ см$^2$. **Ответ: $16\sqrt{7}$ см$^2$.** 225. Пусть $L$ — диагональ призмы, $H$ — высота, $a$ — сторона основания, $d = a\sqrt{2}$ — диагональ основания. 1. Угол между диагональю призмы и боковой гранью — это угол между диагональю и её проекцией на эту грань (диагональю грани). Пусть этот угол $\alpha = 30^{\circ}$. Тогда $\sin(30^{\circ}) = \frac{a}{L} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a}{L} \Rightarrow L = 2a$. 2. Искомый угол $\beta$ между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между $L$ и $d$. $\cos(\beta) = \frac{d}{L} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 3. Найдём угол: $\beta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^{\circ}$. **Ответ: $45^{\circ}$.**

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения