Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4√2 см.

Ответ: 12 см². Решение: 1. Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная четырёхугольная призма. В её основании лежит квадрат $ABCD$. Обозначим сторону основания за $a$, а диагональ за $d$. По условию $d = 4\sqrt{2}$ см. 2. В квадрате диагональ связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow a = 4$ см. 3. Рассмотрим диагональ призмы $B_1D$. Угол её наклона к плоскости основания — это угол $\angle B_1DB = 60^{\circ}$ (так как $BD$ — проекция $B_1D$ на плоскость $ABCD$). 4. Из прямоугольного $\triangle B_1BD$ найдем высоту призмы $H = BB_1$: $H = BD \cdot \text{tg } 60^{\circ} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см. 5. Сечение проходит через сторону нижнего основания (например, $AD$) и противоположную сторону верхнего основания ($B_1C_1$). Это сечение $AB_1C_1D$ является прямоугольником, так как $AD \perp (ABB_1)$ и $AD \parallel B_1C_1$. 6. Одна сторона прямоугольника $AD = a = 4$ см. Вторая сторона — отрезок $AB_1$. Найдем его из прямоугольного $\triangle ABB_1$ по теореме Пифагора: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см. 7. Площадь сечения $S = AD \cdot AB_1 = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}$ см². **Допущение:** В условии задачи часто подразумевается сечение, проходящее через сторону основания и образующее угол с основанием, либо через диагонали. Если под «противоположной стороной» имеется в виду ребро, лежащее прямо над параллельным ребром основания, то расчет выше верен. Если же подразумевается сечение, площадь которого зависит от угла наклона самой диагонали призмы, расчет может меняться. Пересчитаем площадь, если сечение — это плоскость, проходящая через $AD$ под углом $60^{\circ}$ к основанию: $S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{\cos \phi} = \frac{a^2}{\cos 60^{\circ}} = \frac{4^2}{0,5} = \frac{16}{0,5} = 32$ см². Однако, исходя из текста «проходящего через сторону... и противоположную сторону», наиболее вероятен первый вариант с использованием высоты призмы. Уточним значение $AB_1$, если угол $60^{\circ}$ — это угол наклона плоскости сечения, тогда $S = 4 \cdot (4 / \cos 60^{\circ}) = 32$. Но в задаче $60^{\circ}$ — угол наклона **диагонали призмы**. При $a=4, H=4\sqrt{6}$, $S = 4 \cdot \sqrt{4^2 + (4\sqrt{6})^2} = 16\sqrt{7}$.