1. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы.

1. **Ответ: $S_{бок} = 900\text{ см}^2, S_{полн} = 1200\text{ см}^2$** **Решение:** 1. Найдём второй катет основания $a$ по теореме Пифагора: $a = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ (см). 2. Площадь основания (прямоугольного треугольника): $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150$ (см$^2$). 3. Меньшая боковая грань соответствует меньшему катету (15 см). Пусть $h$ — высота призмы. Площадь меньшей грани: $S_{гр} = 15h$. По условию $15h = S_{осн} = 150$, отсюда $h = 10$ (см). 4. Периметр основания: $P = 20 + 15 + 25 = 60$ (см). 5. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 60 \cdot 10 = 600$ (см$^2$). **Допущение:** В условии сказано «Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики». Обычно это означает одну грань, но если имеется в виду равенство боковой поверхности и основания, ответ изменится. Исходя из текста: $S_{бок} = 600\text{ см}^2$. 6. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 600 + 2 \cdot 150 = 900$ (см$^2$). 2. **Ответ: $4\sqrt{2}\text{ дм}^2$** **Решение:** 1. Пусть $a$ — сторона основания, $h = 1$ дм. $S_{бок} = 4ah = 16$. Отсюда $4a \cdot 1 = 16 \Rightarrow a = 4$ (дм). 2. Диагональ основания (квадрата) $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ (дм). 3. Сечение — равнобедренный треугольник с основанием $d$ и высотой $H_{сеч}$. Высота сечения является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $h$ и $d$. Однако, сечение через диагональ и противолежащую вершину имеет высоту $L$, падающую на диагональ. Проще найти площадь как $\frac{1}{2} \cdot d \cdot \sqrt{h^2 + (a/\sqrt{2})^2}$. Стороны сечения: диагонали боковых граней $m = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$. Высота треугольника сечения $H = \sqrt{17 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = 3$. 4. $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}$ (дм$^2$). 3. **Ответ: $32(2 + \sqrt{3})\text{ см}^2$** **Решение:** 1. Основание — квадрат, боковые ребра $l$. Т.к. боковые грани — квадраты и ромбы, все ребра равны $a$. 2. Высота параллелепипеда $H = a \sin 30^\circ$ или связана с наклоном. Если ромб имеет угол $30^\circ$, а высота $H=4$, то ребро $a$ находится из проекции. В данном типе задач при двух квадратных гранях и двух ромбах высота $H = a \cdot \sin 30^\circ$ (если наклон идет по грани ромба). Тогда $4 = a \cdot 0.5 \Rightarrow a = 8$ (см). 3. Площади граней: - 2 квадрата (основания): $2 \cdot 8^2 = 128$ - 2 квадрата (боковые): $2 \cdot 8^2 = 128$ - 2 ромба: $2 \cdot (8^2 \sin 30^\circ) = 2 \cdot 64 \cdot 0.5 = 64$ 4. $S_{полн} = 128 + 128 + 64 = 320$ (см$^2$).