Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна a и образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите: сторону основания призмы; угол между диагональю призмы и плоскостью основания; площадь боковой поверхности призмы; площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

Question

Вопрос:

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна a и образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите: сторону основания призмы; угол между диагональю призмы и плоскостью основания; площадь боковой поверхности призмы; площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $d = a$ — диагональ правильной четырёхугольной призмы. В основании лежит квадрат со стороной $x$, высота призмы — $h$. а) **Ответ: $x = \frac{a}{2}$** Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол $30^\circ$. Катет, лежащий против этого угла, — это сторона основания $x$. $$x = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$$ б) **Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$** Сначала найдём диагональ основания $d_{осн} = x\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Угол $\alpha$ между диагональю призмы и плоскостью основания находится из прямоугольного треугольника, где гипотенуза $a$, а прилежащий катет $d_{осн}$: $$\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{a} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$$ в) **Ответ: $S_{бок} = a^2\sqrt{2}$** Высота призмы $h$ из треугольника с углом $45^\circ$ (пункт б) равна диагонали основания: $h = d_{осн} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Периметр основания $P = 4x = 4 \cdot \frac{a}{2} = 2a$. $$S_{бок} = P \cdot h = 2a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a^2\sqrt{2}$$ г) **Ответ: $S_{сеч} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$** Сечение, проходящее через диагональ основания параллельно диагонали призмы, является равнобедренным треугольником. Его основание — диагональ основания призмы $d_{осн} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Высота сечения $H_{сеч}$ по свойству средней линии треугольника (или подобия) в плоскости, проходящей через диагонали, равна половине диагонали призмы: $H_{сеч} = \frac{a}{2}$. $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d_{осн} \cdot H_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{8}$$ *Исправление: высота треугольника в данном сечении будет равна $\frac{a}{2}$ только если сечение проходит через середину высоты, что и происходит при параллельности.*

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения