Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна a, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите: а) диагональ призмы; б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани; в) площадь боковой поверхности призмы; г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Фотография

Ответ ассистента

В правильной четырёхугольной призме в основании лежит квадрат со стороной $a$. Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — призма, где $AB = BC = a$. Диагональ призмы $d$ (например, $BD_1$) образует с плоскостью основания $ABCD$ угол $\angle D_1BD = 45^\circ$. 1. Найдём высоту призмы $h$ и диагональ основания $d_{осн}$: $d_{осн} = AC = BD = a\sqrt{2}$. Так как $\triangle BDD_1$ прямоугольный и $\angle D_1BD = 45^\circ$, то он равнобедренный: $h = DD_1 = BD = a\sqrt{2}$. а) Найдём диагональ призмы: $d = \sqrt{d_{осн}^2 + h^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. б) Угол между диагональю призмы ($BD_1$) и плоскостью боковой грани ($AA_1D_1D$): Проекцией $BD_1$ на эту плоскость является $AD_1$. Искомый угол — $\angle BD_1A$. В $\triangle ABD_1$ (прямоугольный, т.к. $AB \perp AD_1$): $\sin(\angle BD_1A) = \frac{AB}{BD_1} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$. Следовательно, угол равен $30^\circ$. в) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot a\sqrt{2} = 4a^2\sqrt{2}$. г) Площадь сечения (прямоугольник со сторонами $a$ и диагональю боковой грани): Стороны сечения: сторона основания $a$ и диагональ боковой грани $d_{гр} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. $S_{сеч} = a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$. **Ответ:** а) $2a$; б) $30^\circ$; в) $4a^2\sqrt{2}$; г) $a^2\sqrt{3}$.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения