Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4√2 см.

**Ответ: 16\sqrt{7} \text{ см}^2** **Решение:** 1. Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная четырёхугольная призма. В её основании лежит квадрат $ABCD$. Дано: диагональ основания $d = AC = 4\sqrt{2} \text{ см}$, диагональ призмы $AC_1$ наклонена к плоскости основания под углом $\angle C_1AC = 60^\circ$. 2. Из прямоугольного $\triangle ACC_1$ найдем высоту призмы $h = CC_1$: $$CC_1 = AC \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6} \text{ см}$$ 3. Найдём сторону основания $a$ из формулы диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$: $$4\sqrt{2} = a\sqrt{2} \implies a = 4 \text{ см}$$ 4. Сечение, проходящее через сторону нижнего основания ($AD$) и противолежащую сторону верхнего основания ($B_1C_1$), является прямоугольником $AB_1C_1D$. 5. Одна сторона сечения — это сторона основания $a = AD = 4 \text{ см}$. Вторая сторона — диагональ боковой грани $AB_1$. Найдём её из прямоугольного $\triangle ABB_1$ по теореме Пифагора: $$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 6} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7} \text{ см}$$ 6. Вычислим площадь сечения $S$: $$S = AD \cdot AB_1 = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \text{ см}^2$$