Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

**Ответ: $\arcsin\left(\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ\right) = 45^\circ$** **Решение:** Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная четырёхугольная призма. 1. В основании лежит квадрат со стороной $a$. Пусть высота призмы (боковое ребро) равна $h$. 2. Диагональ призмы — это отрезок $AC_1$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1C_1$ является отрезок $DC_1$ (так как $AD \perp$ плоскости грани). 3. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией. Значит, $\angle AC_1D = 30^\circ$. 4. В прямоугольном $\triangle ADC_1$ (где $\angle ADC_1 = 90^\circ$): $\sin 30^\circ = \frac{AD}{AC_1} = \frac{a}{d}$, где $d$ — длина диагонали призмы. Отсюда $d = \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{1/2} = 2a$. 5. Угол $\alpha$ между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол $\angle C_1AC$ (так как $CC_1$ — перпендикуляр, $AC$ — проекция). 6. В прямоугольном $\triangle ACC_1$: Основание $AC$ — диагональ квадрата, $AC = a\sqrt{2}$. По определению косинуса: $\cos \alpha = \frac{AC}{AC_1} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 7. Если $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha = 45^\circ$.