Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найди угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть правильная четырёхугольная призма будет иметь в основании квадрат со стороной $a$. Высота призмы равна $h$. 1. **Диагональ боковой грани.** Пусть диагональ призмы $D$ исходит из вершины $A_1$ (верхнее основание) и заканчивается в вершине $C$ (нижнее основание). Тогда диагональ боковой грани, например, $A_1B$ будет образовывать с диагональю призмы $D$ и перпендикуляром, опущенным из $C$ на плоскость боковой грани $A_1B_1B$, некий угол. Более просто, угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани — это угол между диагональю призмы и её проекцией на эту грань. Рассмотрим грань $BB_1C_1C$. Диагональ призмы $A_1C$. Проекция $A_1C$ на плоскость $BB_1C_1C$ — это $B_1C$. Угол между $A_1C$ и плоскостью $BB_1C_1C$ — это угол $A_1CB_1$. В прямоугольном треугольнике $A_1B_1C$ (угол $A_1B_1C = 90^ ext{o}$, так как $A_1B_1$ перпендикулярна плоскости $BB_1C_1C$) $$ \angle A_1CB_1 = 30^ ext{o} $$ $$ A_1B_1 = a $$ $$ B_1C = \sqrt{B_1B^2 + BC^2} = \sqrt{h^2 + a^2} $$ $$ \tan(\angle A_1CB_1) = \frac{A_1B_1}{B_1C} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} $$ $$ \tan(30^ ext{o}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Значит, $$ \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ \sqrt{3}a = \sqrt{h^2 + a^2} $$ Возведём обе части в квадрат: $$ 3a^2 = h^2 + a^2 $$ $$ 2a^2 = h^2 $$ $$ h = a\sqrt{2} $$ 2. **Угол между диагональю и плоскостью основания.** Угол между диагональю призмы $A_1C$ и плоскостью основания (например, $ABCD$) — это угол между диагональю $A_1C$ и её проекцией на это основание. Проекцией $A_1C$ на плоскость $ABCD$ является диагональ основания $AC$. То есть, нам нужно найти угол $\angle A_1CA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (угол $A_1AC = 90^ ext{o}$, так как $A_1A$ перпендикулярна плоскости $ABCD$). $$ A_1A = h = a\sqrt{2} $$ Диагональ основания $AC$ в квадрате со стороной $a$ равна: $$ AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $$ Теперь найдём тангенс угла $\angle A_1CA$: $$ \tan(\angle A_1CA) = \frac{A_1A}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 $$ Так как $\tan(\angle A_1CA) = 1$, то $\angle A_1CA = 45^ ext{o}$. **Ответ:** $45^ ext{o}$