Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

В правильной четырёхугольной призме в основании лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Пусть $d$ — диагональ призмы, $a$ — сторона основания (сторона квадрата), $h$ — высота призмы (боковое ребро). 1. Рассмотрим угол между диагональю и плоскостью боковой грани. Проекцией диагонали призмы на плоскость боковой грани является диагональ этой грани. Получаем прямоугольный треугольник, где катетом против угла $30^{\circ}$ является сторона основания $a$, а гипотенузой — диагональ призмы $d$. $$\sin 30^{\circ} = \frac{a}{d} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a}{d} \Rightarrow d = 2a$$ 2. Найдём диагональ основания $d_{осн}$ (диагональ квадрата со стороной $a$): $$d_{осн} = a\sqrt{2}$$ 3. Угол $\alpha$ между диагональю призмы и плоскостью основания — это угол между диагональю $d$ и её проекцией на основание $d_{осн}$. В прямоугольном треугольнике, образованном $d$, $d_{осн}$ и $h$: $$\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{d} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. Так как $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha = 45^{\circ}$. **Ответ: 45°**