Дисциплина «Математика» Билет №2 1. Степени с рациональными показателями, их свойства. 2. Параллелепипед. Куб. 3. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля 4. Примеры: 1)Упростите выражение а) cos²x-6+sin²x

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет №2. ### Теоретические вопросы 1. **Степени с рациональными показателями и их свойства** Степень с рациональным показателем определяется как $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n \in \mathbb{N}, n > 1, m \in \mathbb{Z}, a > 0$. Основные свойства (при $a, b > 0$): - $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ - $a^p / a^q = a^{p-q}$ - $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ - $(ab)^p = a^p b^p$ - $(a/b)^p = a^p / b^p$ 2. **Параллелепипед. Куб** - **Параллелепипед** — это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них является параллелограммом. Прямоугольный параллелепипед имеет все грани прямоугольники. - **Куб** — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны (все грани — квадраты). 3. **Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля** Биномиальные коэффициенты $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ показывают количество способов выбрать $k$ элементов из $n$. Свойства: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$. **Треугольник Паскаля** — это геометрическое представление биномиальных коэффициентов в виде таблицы, где каждое число равно сумме двух чисел над ним. ### Практические задания **1. Упростите выражение:** а) $\cos^2 x - 6 + \sin^2 x$ Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$: $1 - 6 = -5$ **Ответ: -5** б) $a^{\sqrt{2}} \cdot (\frac{1}{a})^{\sqrt{2}-1}$ Преобразуем выражение: $a^{\sqrt{2}} \cdot (a^{-1})^{\sqrt{2}-1} = a^{\sqrt{2}} \cdot a^{-\sqrt{2}+1} = a^{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1} = a^1 = a$ **Ответ: a** **2. Найти производную:** в) $f(x) = x^3 + 4x$ Используем правило дифференцирования $(x^n)' = nx^{n-1}$: $f'(x) = (x^3)' + (4x)' = 3x^2 + 4$ **Ответ: $3x^2 + 4$**