Дано: угол между плоскостями ABC и β равен 45°, BD ⊥ β, AB = BC, AC = 12, CD = 10. Найти: расстояние от точки B до плоскости β.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию он равнобедренный ($AB = BC$), $AC = 12$. Пусть $M$ — середина $AC$. Тогда $BM \perp AC$ (медиана и высота равнобедренного треугольника). 2. Так как $BD \perp \beta$, то $D$ — проекция точки $B$ на плоскость $?eta$. Проекция наклонной $BC$ на плоскость $?eta$ — это отрезок $CD$. По условию $CD = 10$. По теореме Пифагора для $\triangle BDC$ (где $\angle D = 90^\circ$): $BC^2 = BD^2 + CD^2 = BD^2 + 100$. 3. Проекция наклонной $BA$ на плоскость $?eta$ будет равна проекции $BC$, так как $AB = BC$ и $BD$ — общий катет ($AD = CD = 10$). Значит, проекция $\triangle ABC$ на плоскость $?eta$ — это равнобедренный $\triangle ADC$ с основанием $AC = 12$ и боковыми сторонами $10$. Высота этого треугольника $DM \perp AC$ (где $M$ — середина $AC$): $DM = \sqrt{CD^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$. 4. Линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\beta$ — это $\angle BMD = 45^\circ$ (так как $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$ по теореме о трех перпендикулярах). 5. В прямоугольном $\triangle BDM$ ($\angle D = 90^\circ$): $BD = DM \cdot \text{tg}(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$. **Ответ: 8**