Дано: угол между плоскостями ABC и β равен 45°, BD ⊥ β, AB = BC, AC = 12, CD = 10. Найти: расстояние от точки B до плоскости β.

1. **Анализ условия**: Пусть плоскость $ABC$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $AC$. Так как $BD \perp \beta$, то $BD$ — это искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $\beta$. Отрезки $AD$ и $CD$ являются проекциями наклонных $AB$ и $CB$ на плоскость $\beta$. Так как по условию $AB = BC$, то их проекции также равны: $AD = DC$. Значит, точка $D$ равноудалена от концов отрезка $AC$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к $AC$ в плоскости $\beta$. 2. **Построение линейного угла**: Пусть $M$ — середина $AC$. Тогда $DM \perp AC$ (так как $\triangle ADC$ равнобедренный) и $BM \perp AC$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный). Следовательно, $\angle BMD$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\beta$. По условию $\angle BMD = 45^\circ$. 3. **Нахождение $DM$**: В прямоугольном треугольнике $MDC$ (где $\angle M = 90^\circ$): $MC = AC / 2 = 12 / 2 = 6$. По теореме Пифагора для $\triangle MDC$: $DM = \sqrt{CD^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. 4. **Нахождение $BD$**: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDM$ (так как $BD \perp \beta$, то $BD \perp DM$). В нём $\angle BMD = 45^\circ$, значит, треугольник равнобедренный: $BD = DM = 8$. **Ответ: 8**