Дано: AC перпендикулярно плоскости альфа, BD перпендикулярно плоскости альфа. Найти: AB.

Дано: $AC \perp \alpha$, $BD \perp \alpha$. Значит, $AC$ и $BD$ параллельны, так как они обе перпендикулярны одной и той же плоскости. Мы можем построить прямую $CK$ параллельно $CD$ так, чтобы $K$ лежала на $BD$. Тогда $CDKB$ будет прямоугольником. Из этого следует, что $CD = CK = 12$. Также, $BK = BD - KD = BD - AC = 15 - 10 = 5$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + CK^2 + BK^2$$ Нет, так не пойдёт, давай по-другому. Построим прямую $AE$ параллельно $CD$, где $E$ лежит на $BD$. Тогда $ACDE$ — это прямоугольник, потому что $AC$ и $BD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Значит, $CD$ перпендикулярно $AC$ и $DE$, и $AC$ параллельно $DE$. Тогда $DE = AC = 10$. А отрезок $BE$ будет равен $BD - DE = 15 - 10 = 5$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$. У него катеты $AE$ и $BE$. Мы знаем $AE = CD = 12$ и $BE = 5$. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$ $$AB^2 = 12^2 + 5^2$$ $$AB^2 = 144 + 25$$ $$AB^2 = 169$$ $$AB = \sqrt{169}$$ $$AB = 13$$ **Ответ:** 13