Дано: угол между плоскостями ABC и α равен 30°, BD ⊥ α, ∠ACB = 90°, AC = 10, AB = 26. Найти: расстояние от точки B до плоскости α.

Question

Вопрос:

Дано: угол между плоскостями ABC и α равен 30°, BD ⊥ α, ∠ACB = 90°, AC = 10, AB = 26. Найти: расстояние от точки B до плоскости α.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠ACB = 90^∘$). По теореме Пифагора найдём катет $BC$: $BC = √{AB^2 - AC^2} = √{26^2 - 10^2} = √{676 - 100} = √{576} = 24$. 2. Так как $BD ⊥ α$, то $CD$ — проекция наклонной $BC$ на плоскость $α$. По условию $AC ⊥ BC$ (так как $∠ACB = 90^∘$). По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости, то и её проекция $CD$ перпендикулярна этой прямой ($CD ⊥ AC$). Следовательно, линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $α$ является $∠BCD = 30^∘$. 3. В прямоугольном треугольнике $BDC$ ($∠BDC = 90^∘$) катет $BD$ лежит против угла в $30^∘$. Значит, он равен половине гипотенузы $BC$: $BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} ⋅ 24 = 12$. Расстояние от точки $B$ до плоскости α — это длина перпендикуляра $BD$. **Ответ: 12**.

Дано: угол между плоскостями ABC и α равен 30°, BD ⊥ α, ∠ACB = 90°, AC = 10, AB = 26. Найти: расстояние от точки B до плоскости α.

Ответ ассистента

Другие решения