Дано: угол между плоскостями ABC и α равен 30°, BD ⊥ α, ∠ACB = 90°, AC = 10, AB = 26. Найти: расстояние от точки B до плоскости α.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($"\angle ACB = 90^\circ"$). По теореме Пифагора найдем катет $BC$: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$. 2. Так как $BD \perp \alpha$, то точка $D$ — проекция точки $B$ на плоскость $"\alpha"$. Проведем $BC \perp AC$ (по условию). По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BC \perp AC$, то и ее проекция $DC \perp AC$. 3. Угол между плоскостями $ABC$ и $"\alpha"$ — это линейный угол двугранного угла, образованный двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей ($AC$). Таким образом, $"\angle BCD = 30^\circ"$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ ($"\angle BDC = 90^\circ"$, так как $BD \perp \alpha$). Расстояние от точки $B$ до плоскости $"\alpha"$ — это длина перпендикуляра $BD$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $BD = BC \cdot \sin(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$. **Ответ: 12**