Найти $AB$, если $AC \perp \alpha$, $BD \perp \alpha$, $AC = 10$, $BD = 15$, $CD = 12$

Дано: * $AC \perp \alpha$ * $BD \perp \alpha$ * $AC = 10$ * $BD = 15$ * $CD = 12$ Найти: $AB$ 1. Поскольку $AC \perp \alpha$ и $BD \perp \alpha$, то отрезки $AC$ и $BD$ параллельны. Значит, фигура $ACDB$ — это трапеция, а $AC$ и $BD$ — её боковые стороны, перпендикулярные плоскости $\alpha$. 2. Проведём из точки $C$ прямую, параллельную $CD$ до пересечения с $BD$. Назовем точку пересечения $E$. Тогда $CE$ параллельна $CD$ и $CE = CD = 12$. Отрезок $BE$ будет частью $BD$. Длина $BE = BD - DE$. Так как $ACED$ — прямоугольник ($AC \perp CE$), то $DE = AC = 10$. Тогда $BE = 15 - 10 = 5$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEB$. У нас есть катеты $CE = 12$ и $BE = 5$. Гипотенуза $CB$ в этом треугольнике — это искомый отрезок $AB$. 4. По теореме Пифагора в треугольнике $CEB$: $$CB^2 = CE^2 + BE^2$$ $$AB^2 = 12^2 + 5^2$$ $$AB^2 = 144 + 25$$ $$AB^2 = 169$$ $$AB = \sqrt{169}$$ $$AB = 13$$ **Ответ: 13**