Дано: угол между плоскостями ABC и β равен 45°, BD ⊥ β, AB = BC, AC = 12, CD = 10. Найти: расстояние от точки B до плоскости β.

1. Опустим высоту $BK$ треугольника $ABC$ на сторону $AC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), то $BK$ является и медианой, значит $AK = KC = 12 : 2 = 6$. 2. Отрезок $BD$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $\beta$ равно длине $BD$. 3. Проекцией наклонной $BK$ на плоскость $\beta$ является отрезок $DK$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $BK \perp AC$, то и $DK \perp AC$. Угол $\angle BKD$ — это линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\beta$. По условию $\angle BKD = 45^\circ$. 4. В прямоугольном $\triangle DKC$ ($\angle DKC = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдём $DK$: $DK = \sqrt{CD^2 - KC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. 5. В прямоугольном $\triangle BDK$ ($\angle BDK = 90^\circ$) угол $\angle BKD = 45^\circ$, значит треугольник равнобедренный, и $BD = DK = 8$. Ответ: 8