Плоскости треугольников ABC и BCD перпендикулярны. Найди расстояние между точками A и D, если BC = 4.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и теоремой Пифагора в пространстве. 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Он прямоугольный ($∠ACB = 90^\circ$ по рисунку). Найдём катет $AC$ через тангенс угла $B$: $AC = BC \cdot \text{tg}(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}$. 2. Рассмотрим $\triangle BCD$. Он также прямоугольный ($∠BCD = 90^\circ$ по рисунку). Найдём катет $CD$ через тангенс угла $B$: $CD = BC \cdot \text{tg}(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}$. 3. По условию плоскости $(ABC)$ и $(BCD)$ перпендикулярны. Так как $AC \perp BC$ (линия пересечения плоскостей), то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $(BCD)$. Следовательно, $AC \perp CD$, и $\triangle ACD$ является прямоугольным. 4. Найдём гипотенузу $AD$ по теореме Пифагора: $AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{48 + 48} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$. **Ответ: 4\sqrt{6}**