Контрольная работа №2 'Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве' Вариант 1. Решить задачи 1, 2, 3.

1. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то по свойству параллельных плоскостей отрезки параллельных прямых, заключённые между ними, равны, а при пересечении плоскостей прямой $m$ образуются пропорциональные отрезки. Из подобия треугольников (или по теореме Фалеса для пространства): $\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = ?rac{OB_1}{OB_2}$. По условию $B_1O:OB_2 = 3:4$, значит $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{4}$. $A_2B_2 = \frac{A_1B_1 \cdot OB_2}{OB_1} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 16$ см. **Ответ: 16 см.** 2. а) Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, значит она является центром описанной окружности. Следовательно, $OA = OB = OC$. В прямоугольных треугольниках $MOA$, $MOB$ и $MOC$ (где $MO$ — общий катет, $\angle MOA = \angle MOB = \angle MOC = 90^\circ$): по двум катетам $\triangle MOA = \triangle MOB = \triangle MOC$. Из равенства треугольников следует, что $MA = MB = MC$. б) В правильном треугольнике радиус описанной окружности $OA = R = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Из прямоугольного $\triangle MOA$ по теореме Пифагора: $MA = \sqrt{MO^2 + OA^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$ см. **Ответ: 4 см.** 3. а) Проекцией наклонной $MA$ на плоскость квадрата является отрезок $AD$ (так как $MD \perp (ABC)$), а проекцией $MC$ — отрезок $CD$. Так как $MD \perp (ABC)$, то $MD$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости: $MD \perp AD$ и $MD \perp CD$. Значит, $\triangle MAD$ и $\triangle MCD$ — прямоугольные. Для треугольников $MAB$ и $MCB$: $AD \perp AB$ (стороны квадрата), $MD \perp (ABC) \Rightarrow$ по теореме о трёх перпендикулярах $MA \perp AB$. Значит, $\triangle MAB$ — прямоугольный ($\angle MAB = 90^\circ$). Аналогично, $CD \perp CB$ и $MD \perp (ABC) \Rightarrow MC \perp CB$. Значит, $\triangle MCB$ — прямоугольный ($\angle MCB = 90^\circ$). б) Угол между наклонной $MB$ и плоскостью квадрата — это $\angle MBD = 60^\circ$. В прямоугольном $\triangle MDB$ ($\angle D = 90^\circ$): $BD = MD \cdot \text{ctg}(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см. Диагональ квадрата $BD = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата. $a = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$ см. **Ответ: $\sqrt{6}$ см.**