1. Прямые m и n лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися?

1. Прямые $m$ и $n$ лежат в пересекающихся плоскостях $\alpha$ и $\beta$. а) **Могут быть параллельными**. Например, если обе прямые параллельны линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. б) **Могут быть скрещивающимися**. Это произойдет, если одна прямая пересекает линию пересечения плоскостей в точке, через которую не проходит вторая прямая. 2. Построение сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью через точки $M, N, L$: - Точки $M$ и $L$ лежат в одной грани ($ABB_1A_1$), соединяем их отрезком $ML$. - Точки $M$ и $N$ лежат в одной грани ($AA_1D_1D$), соединяем их отрезком $MN$. - Проводим прямую через $N$ параллельно $ML$ в грани $A_1B_1C_1D_1$ (так как противоположные грани параллельны, линии пересечения будут параллельны). Она пересечет ребро $C_1D_1$ в точке $K$. - Проводим прямую через $L$ параллельно $MN$ в грани $BCC_1B_1$. Она пересечет ребро $CC_1$ в точке $P$. - Соединяем $K$ и $P$ в грани $CDD_1C_1$. Пятиугольник $MNKPL$ — искомое сечение. 3. Построение сечения тетраэдра $DABC$: - Обозначим $F$ — середина $DC$, $R$ — середина $BC$. Соединяем $F$ и $R$ (отрезок лежит в грани $BDC$). - Точка $G$ лежит на $DA$, соединяем $G$ и $F$ (отрезок в грани $ADC$). - Находим точку пересечения прямой $FR$ с прямой $DB$ (в плоскости грани $BDC$) — точка $S$. - Проводим прямую $SG$ в плоскости грани $ADB$, она пересечет ребро $AB$ в точке $T$. - Соединяем $T$ и $R$. Четырехугольник $GFRT$ — искомое сечение. 4. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то отрезки параллельных прямых, заключенные между ними, равны. Углы между прямыми и плоскостями также будут равны. Угол $B_1B_2A_2$ равен углу $A_2A_1B_1$ как накрест лежащий при параллельных прямых. **Ответ: $60^\circ$**. 5. Через точку $M$, не лежащую в параллельных плоскостях, можно провести единственную прямую, параллельную обеим плоскостям (эта прямая будет параллельна линии пересечения любых плоскостей, проходящих через $M$ и параллельных данным). Однако в задаче говорится о прямых $a$ и $b$, пересекающих плоскости. **Допущение:** Требуется найти взаимное расположение прямых $a$ и $b$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямые проходят через одну точку $M$ и точки пересечения, то по свойству гомотетии (или подобия треугольников) прямые $a$ и $b$ образуют две пересекающиеся прямые в пространстве.