1. Вершины B и C треугольника ABC лежат в плоскости β. Вершина A ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и AC, параллельна плоскости β.

**1. Вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\beta$. Вершина $A$ ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости $\beta$.** Пусть $K$ — середина отрезка $AB$, а $L$ — середина отрезка $AC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен отрезку $BC$ и $KL = \frac{1}{2}BC$. Так как отрезок $BC$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $KL$ параллельна $BC$, то прямая $KL$ параллельна плоскости $\beta$. **2. Дан треугольник $ABC$. Плоскость, параллельная прямой $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $A_1$, а сторону $BC$ — в точке $C_1$. Вычислите длину отрезка $BC$, если $CC_1 = 20$ см, $A_1C_1 : AC = 3 : 7$.** По условию, плоскость, параллельная прямой $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $A_1$, а сторону $BC$ — в точке $C_1$. Это означает, что $A_1C_1 \| AC$. Тогда треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$ и секущей $AB$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BC_1}{BC}$$ Нам дано, что $A_1C_1 : AC = 3 : 7$, то есть $\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{3}{7}$. Значит, $\frac{BC_1}{BC} = \frac{3}{7}$. Мы знаем, что $BC = BC_1 + CC_1$. Подставим это в пропорцию: $$\frac{BC_1}{BC_1 + CC_1} = \frac{3}{7}$$ Подставим известное значение $CC_1 = 20$ см: $$\frac{BC_1}{BC_1 + 20} = \frac{3}{7}$$ Теперь решим уравнение для $BC_1$: $7 \cdot BC_1 = 3 \cdot (BC_1 + 20)$ $7 BC_1 = 3 BC_1 + 60$ $7 BC_1 - 3 BC_1 = 60$ $4 BC_1 = 60$ $BC_1 = \frac{60}{4}$ $BC_1 = 15$ см Теперь найдем длину отрезка $BC$: $BC = BC_1 + CC_1 = 15 + 20 = 35$ см **Ответ: $BC = 35$ см** **3. Точка $O$ не принадлежит плоскости равнобедренной трапеции $KMPT$ ($KT \| MP$). Как расположены прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции, а другая — середины отрезков $OM$ и $OP$? Найдите угол между прямой $MK$ и прямой, содержащей середины отрезков $OM$ и $OP$, если $\angle MPT = 110^{\circ}$.** Пусть $F$ — середина отрезка $OM$, а $G$ — середина отрезка $OP$. Тогда отрезок $FG$ является средней линией треугольника $OMP$. По свойству средней линии треугольника, $FG \| MP$ и $FG = \frac{1}{2}MP$. Пусть $EF$ — средняя линия трапеции $KMPT$, где $E$ — середина $KM$, а $F$ — середина $PT$. Тогда $EF \| KT$ и $EF \| MP$. Мы видим, что обе прямые ($FG$ и $EF$) параллельны основанию $MP$ (и $KT$) трапеции. Значит, прямые, одна из которых содержит среднюю линию трапеции ($EF$), а другая — середины отрезков $OM$ и $OP$ ($FG$), параллельны друг другу, если они лежат в одной плоскости (например, если $O$ лежит в плоскости трапеции, что противоречит условию) или скрещиваются. Поскольку $O$ не принадлежит плоскости трапеции $KMPT$, прямая $FG$ не лежит в плоскости трапеции. Прямая, содержащая среднюю линию трапеции, лежит в плоскости трапеции. Поскольку $FG \| MP$ и средняя линия трапеции также параллельна $MP$, то эти две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости. Однако, так как прямая $FG$ лежит в плоскости, образованной точкой $O$ и основанием $MP$, а средняя линия трапеции лежит в плоскости трапеции, и эти плоскости не совпадают, то прямые $FG$ и средняя линия трапеции не пересекаются и параллельны одной и той же прямой ($MP$). Следовательно, они параллельны друг другу. Теперь найдем угол между прямой $MK$ и прямой, содержащей середины отрезков $OM$ и $OP$. Прямая, содержащая середины отрезков $OM$ и $OP$, это прямая $FG$. Нам нужно найти угол между $MK$ и $FG$. Так как $FG \| MP$, то угол между $MK$ и $FG$ равен углу между $MK$ и $MP$. Этот угол — $\angle KMP$. Трапеция $KMPT$ — равнобедренная. Это значит, что углы при одном основании равны, то есть $\angle TKM = \angle PMK$ и $\angle KTP = \angle MPT$. Дано, что $\angle MPT = 110^{\circ}$. В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$. То есть, $\angle KMP + \angle MPT = 180^{\circ}$. $\angle KMP = 180^{\circ} - \angle MPT = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. Угол между прямой $MK$ и прямой $FG$ равен углу $\angle KMP$, который равен $70^{\circ}$. **Ответ: Прямые параллельны. Угол между прямой $MK$ и прямой, содержащей середины отрезков $OM$ и $OP$, равен $70^{\circ}$.**