1. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Через точки $A$ и $B$ плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$. Найдите $A_1B_1$, если $AB = 5$ см.

1. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Через точки $A$ и $B$ плоскости $\alpha$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$. Найдите $A_1B_1$, если $AB = 5$ см. Поскольку прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ тоже параллельны, то фигура $ABB_1A_1$ является параллелограммом (точнее, прямоугольником, если прямые перпендикулярны плоскостям, или трапецией, если прямые не перпендикулярны, но параллельны друг другу). В любом случае, отрезки $AB$ и $A_1B_1$ являются противоположными сторонами этого параллелограмма. У параллелограмма противоположные стороны равны. Значит, $A_1B_1 = AB$. $$A_1B_1 = 5 \text{ см}$$ **Ответ: 5 см** 2. Верно, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет, это утверждение неверно. Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, были параллельны другой плоскости. Например, рассмотрим куб. Плоскость одной из граней параллельна плоскости противоположной грани. Однако прямая, лежащая, например, в нижней грани и параллельная какой-либо прямой в верхней грани, не делает эти плоскости параллельными. Сама нижняя грань не может быть параллельна верхней грани по одному такому условию. **Ответ: Нет, неверно.** 3. Две плоскости параллельны между собой. Из точки $M$, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$. Известно, что $MA_1 = 4$ см, $B_1B_2 = 9$ см, $A_1A_2 = MB_1$. Найдите $MA_2$ и $MB_2$. У нас есть две параллельные плоскости, пусть это $\pi_1$ (с точками $A_1$, $B_1$) и $\pi_2$ (с точками $A_2$, $B_2$). Из точки $M$ проведены две прямые $MA_2$ и $MB_2$. Эти прямые пересекают плоскости. Рассмотрим треугольники, которые образуются этими прямыми и отрезками в плоскостях. Треугольник $MA_1B_1$ и $MA_2B_2$ подобны, так как стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$ лежат в параллельных плоскостях и отсекаются одними и теми же прямыми, исходящими из точки $M$. Следовательно, прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. Таким образом, $\triangle MA_1B_1 \sim \triangle MA_2B_2$. Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Нам дано: $MA_1 = 4$ см $B_1B_2 = 9$ см $A_1A_2 = MB_1$ Сначала найдем $MB_1$. Из условия $A_1A_2 = MB_1$. Так как точка $M$ не лежит между плоскостями, то $MA_2 = MA_1 + A_1A_2$. Значит, $A_1A_2 = MA_2 - MA_1 = MA_2 - 4$. Подставим это в $A_1A_2 = MB_1$: $MB_1 = MA_2 - 4$ Теперь используем отношение подобия: $$\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2}$$ $$\frac{4}{MA_2} = \frac{MA_2 - 4}{MB_2}$$ Также у нас есть $MB_2 = MB_1 + B_1B_2 = (MA_2 - 4) + 9 = MA_2 + 5$. Теперь подставим это в уравнение: $$\frac{4}{MA_2} = \frac{MA_2 - 4}{MA_2 + 5}$$ Перемножим крест-на-крест: $4(MA_2 + 5) = MA_2(MA_2 - 4)$ $4MA_2 + 20 = MA_2^2 - 4MA_2$ $MA_2^2 - 8MA_2 - 20 = 0$ Решим квадратное уравнение для $MA_2$: $MA_2 = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-20)}}{2(1)}$ $MA_2 = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$ $MA_2 = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2}$ $MA_2 = \frac{8 \pm 12}{2}$ Возможные значения для $MA_2$: $MA_2 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $MA_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому $MA_2 = 10$ см. Теперь найдем $MB_2$: $MB_2 = MA_2 + 5 = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: $MA_2 = 10$ см, $MB_2 = 15$ см.**