Контрольная работа №2 По теме «Параллельность прямых и плоскостей»

### Вариант 1 1. **Доказательство:** По условию $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $AB$, $BD$ и $BC$. Следовательно, $MK$ — средняя линия $\triangle ABD$, значит $MK \parallel AD$. $KP$ — средняя линия $\triangle BDC$, значит $KP \parallel DC$. Так как две пересекающиеся прямые $MK$ и $KP$ плоскости $MKP$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $AD$ и $DC$ плоскости $ACD$, то по признаку параллельности плоскостей $(MKP) \parallel (ACD)$. **Нахождение площади:** Коэффициент подобия $\triangle MKP$ и $\triangle ACD$ равен $k = \frac{1}{2}$ (так как стороны $\triangle MKP$ являются средними линиями). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_{MKP} = k^2 \cdot S_{ACD} = (\frac{1}{2})^2 \cdot 48 = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12$ см$^2$. **Ответ:** 12 см$^2$. 2. **Построение:** - Проведём прямую через середину ребра $AB$ параллельно $AC$ в плоскости основания $ABC$. Она пересечёт $BC$ в его середине. - Из полученной точки на $BC$ провем прямую параллельно $CC_1$ (или $BB_1$). - Соединим точки пересечения на верхнем и нижнем основаниях. Сечением является параллелограмм (в частном случае прямоугольник), проходящий через середины рёбер $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$. 3. Верно. Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она либо лежит во второй плоскости, либо параллельна ей. Так как в условии сказано, что прямая «исходит» (вероятно, имеется в виду «лежит») в одной из них, то она не имеет общих точек со второй плоскостью. **Ответ:** Верно. ### Вариант 2 1. Решение аналогично Варианту 1. Плоскость $MKP$ параллельна плоскости $ABC$, так как $MK$, $KP$ и $MP$ — средние линии соответствующих граней тетраэдра. $S_{MKP} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12$ см$^2$. **Ответ:** 12 см$^2$. 2. **Построение:** - Обозначим середину $AB$ как точку $E$. - Через точку $E$ в плоскости $ABB_1A_1$ проведём прямую, параллельную $BB_1$ (она же параллельна плоскости $DBB_1$). Эта прямая соединит середины $AB$ и $A_1B_1$. - Аналогично в плоскости основания проведем линию из $E$ параллельно $BD$. Сечением будет плоскость, проходящая через середины рёбер параллелепипеда. 3. Нет, неверно. Прямые $a$ и $b$ могут быть скрещивающимися. Параллельность плоскостей гарантирует, что прямая $a$ не пересечёт плоскость $\beta$, в которой лежит $b$, но сами прямые не обязательно должны быть параллельны друг другу; они просто не имеют общих точек. **Ответ:** Неверно, они могут быть скрещивающимися.