Дано: MC ⊥ (ABC), ∠AMB = 90°, ∠MAC = 30°, ∠MBC = 45°, MD ⊥ AB. Найти: угол между прямой MD и пл. ABC.

1. Проанализируем положение прямой $MD$ относительно плоскости $ABC$. По условию $MC \perp (ABC)$, значит, отрезок $MC$ — перпендикуляр к плоскости, а $MD$ — наклонная. Отрезок $CD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $ABC$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Значит, искомый угол — $\angle MDC$. 2. По теореме о трёх перпендикулярах: так как $MD \perp AB$ и $MC \perp (ABC)$, то проекция $CD$ также перпендикулярна $AB$ ($CD \perp AB$). 3. Пусть $MC = h$. Рассмотрим прямоугольные треугольники: - $\triangle MCA$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = MC \cdot \text{ctg}(30^\circ) = h\sqrt{3}$. - $\triangle MCB$ ($\angle C = 90^\circ$): $BC = MC \cdot \text{ctg}(45^\circ) = h \cdot 1 = h$. - $\triangle MAB$ ($\angle AMB = 90^\circ$): по теореме Пифагора $AB = \sqrt{MA^2 + MB^2}$. Найдем гипотенузы боковых граней: $MA = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 2h$, $MB = \frac{h}{\sin 45^\circ} = h\sqrt{2}$. Тогда $AB = \sqrt{(2h)^2 + (h\sqrt{2})^2} = \sqrt{4h^2 + 2h^2} = h\sqrt{6}$. 4. В основании лежит $\triangle ABC$. Найдем его площадь двумя способами: - Через катеты $AC$ и $BC$ и угол между ними (пусть $\angle ACB = \gamma$): по теореме косинусов в $\triangle ABC$: $(h\sqrt{6})^2 = (h\sqrt{3})^2 + h^2 - 2 \cdot h\sqrt{3} \cdot h \cdot \cos \gamma \Rightarrow 6h^2 = 3h^2 + h^2 - 2h^2\sqrt{3} \cos \gamma$ $2h^2 = -2h^2\sqrt{3} \cos \gamma \Rightarrow \cos \gamma = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $\sin \gamma = \sqrt{1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot h\sqrt{3} \cdot h \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{h^2\sqrt{2}}{2}$. - С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CD$. Отсюда $CD = \frac{2S}{AB} = \frac{h^2\sqrt{2}}{h\sqrt{6}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$. 5. В прямоугольном $\triangle MCD$ ($\angle C = 90^\circ$): $\text{tg}(\angle MDC) = \frac{MC}{CD} = \frac{h}{h/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Следовательно, $\angle MDC = 60^\circ$. **Ответ: 60°**.