Дано: MC ⊥ (ABC), ∠AMB = 90°, ∠MAC = 30°, ∠MBC = 45°, MD ⊥ AB. Найти: угол между прямой MD и пл. ABC.

Для нахождения угла между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$ выполним следующие шаги: 1. **Определим искомый угол:** Так как $MC \perp (ABC)$, то точка $C$ является проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$. Отрезок $CD$ — проекция наклонной $MD$ на плоскость $ABC$. Углом между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$ является угол $\angle MDC$. 2. **Свойство трех перпендикуляров:** Так как $MC \perp (ABC)$ и $MD \perp AB$ (по условию), то по теореме о трех перпендикулярах его проекция $CD \perp AB$. Значит, $\triangle MDC$ — прямоугольный ($\angle MCD = 90^\circ$). 3. **Выразим стороны через высоту $MC = h$:** * В $\triangle MAC$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = MC \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = h \sqrt{3}$. * В $\triangle MBC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 45^\circ$): $\triangle MBC$ — равнобедренный, $BC = MC = h$. * В $\triangle AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$): по теореме Пифагора $AB^2 = AM^2 + MB^2$. Из $\triangle MAC$: $AM = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 2h$. Из $\triangle MBC$: $MB = \frac{h}{\sin 45^\circ} = h\sqrt{2}$. $AB = \sqrt{(2h)^2 + (h\sqrt{2})^2} = \sqrt{4h^2 + 2h^2} = h\sqrt{6}$. 4. **Найдем $CD$ через площадь $\triangle ABC$:** В $\triangle ABC$ стороны: $AC = h\sqrt{3}$, $BC = h$, $AB = h\sqrt{6}$. Проверим вид треугольника по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = 3h^2 + h^2 = 4h^2$, а $AB^2 = 6h^2$. Треугольник тупоугольный. Вычислим высоту $CD$ к стороне $AB$. Пусть $S$ — площадь $\triangle ABC$. Воспользуемся формулой Герона или найдем высоту через проекции. Заметим, что в $\triangle AMB$ высота $MD = \frac{AM \cdot MB}{AB} = \frac{2h \cdot h\sqrt{2}}{h\sqrt{6}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$. 5. **Найдем $\sin \angle MDC$:** В $\triangle MDC$: $\sin \angle MDC = \frac{MC}{MD} = \frac{h}{\frac{2h}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\angle MDC = 60^\circ$. **Ответ: 60°**