Найти угол между прямой MB и плоскостью основания.

**Ответ: 30°** **Допущение:** На рисунке изображена пирамида $MABC$, где отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$ ($MA \perp (ABC)$). Угол между прямой $MB$ и плоскостью $(ABC)$ — это угол $\angle MBA$ (так как $BA$ является проекцией наклонной $MB$ на плоскость основания). Решение: 1. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. По рисунку известно: $AC = AB$ (отмечены равными штрихами), $\angle CAB = 120^\circ$ и сторона $CB = 6$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$: $$CB^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(120^\circ)$$ Пусть $AC = AB = x$. Тогда: $$6^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot (-0,5)$$ $$36 = 2x^2 + x^2$$ $$36 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ Значит, $AB = 2\sqrt{3}$. 2. Из рисунка видно, что боковое ребро $MC = 4$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAC$ (так как $MA \perp AC$). По теореме Пифагора: $$MA^2 = MC^2 - AC^2$$ $$MA^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4$$ $$MA = 2$$ 3. Теперь найдем искомый угол $\alpha = \angle MBA$ в прямоугольном треугольнике $MAB$: $$\text{tg}(\alpha) = \frac{MA}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\alpha = \text{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$$