Дано: MC ⊥ (ABC), ∠MAC = 30°, ∠ABC = 90°, MC = BC. Найти: ∠AMB.

**Ответ: 45°** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle MAC$. Так как $MC \perp (ABC)$, то $MC \perp AC$, следовательно, $\triangle MAC$ — прямоугольный ($\angle MCA = 90^\circ$). 2. В $\triangle MAC$ выразим $AC$ через $MC$: $\text{tg}(\angle MAC) = \frac{MC}{AC} \Rightarrow AC = \frac{MC}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{MC}{1/\sqrt{3}} = MC\sqrt{3}$. 3. Пусть $MC = BC = a$. Тогда $AC = a\sqrt{3}$. 4. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2$ $AB^2 + a^2 = (a\sqrt{3})^2$ $AB^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2 \Rightarrow AB = a\sqrt{2}$. 5. Заметим, что $MC \perp (ABC)$, значит $MC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $BC$. Так как $CB \perp AB$ (по условию $\angle ABC = 90^\circ$), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MB \perp AB$. 6. Рассмотрим прямоугольный $\triangle MBA$ ($\angle MBA = 90^\circ$). Нам нужно найти $\angle AMB$ (обозначен $x$). 7. В $\triangle MBC$ (прямоугольный, равнобедренный так как $MC=BC=a$): $MB = \sqrt{MC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 8. В $\triangle MBA$ катеты равны: $AB = a\sqrt{2}$ и $MB = a\sqrt{2}$. Следовательно, $\triangle MBA$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, значит его острые углы равны $45^\circ$. $x = \angle AMB = 45^\circ$.