Дано: MC ⊥ (ABC), ∠AMB = 90°, ∠MAC = 30°, ∠MBC = 45°, MD ⊥ AB. Найти: угол между прямой MD и пл. ABC.

1. Угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABC$ — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Так как $MC \perp (ABC)$, то точка $C$ является проекцией точки $M$, а отрезок $CD$ — проекцией отрезка $MD$. Значит, искомый угол — $\angle MDC$. 2. Пусть $MC = h$. Рассмотрим прямоугольные треугольники: - В $\triangle MCA$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = MC \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = h\sqrt{3}$, $MA = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 2h$. - В $\triangle MCB$ ($\angle C = 90^\circ$): $BC = MC \cdot \operatorname{ctg} 45^\circ = h$, $MB = \frac{h}{\sin 45^\circ} = h\sqrt{2}$. 3. Рассмотрим $\triangle AMB$. По условию $\angle AMB = 90^\circ$. Найдем $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{MA^2 + MB^2} = \sqrt{(2h)^2 + (h\sqrt{2})^2} = \sqrt{4h^2 + 2h^2} = h\sqrt{6}$. 4. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. Его стороны: $AC = h\sqrt{3}$, $BC = h$, $AB = h\sqrt{6}$. Проверим, является ли он прямоугольным: $AC^2 + BC^2 = 3h^2 + h^2 = 4h^2$ $AB^2 = 6h^2$ $AC^2 + BC^2 \neq AB^2$. Треугольник не прямоугольный. Найдем его площадь через высоту $CD$. Сначала найдем высоту $CD$, используя метод площадей или теорему о трех перпендикулярах. Так как $MD \perp AB$ и $MC \perp (ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах $CD \perp AB$. 5. В $\triangle ABC$ проведем высоту $CD$. Пусть $AD = x$, тогда $DB = h\sqrt{6} - x$. $CD^2 = AC^2 - AD^2 = BC^2 - DB^2$ $3h^2 - x^2 = h^2 - (h\sqrt{6} - x)^2$ $2h^2 - x^2 = -(6h^2 - 2xh\sqrt{6} + x^2)$ $2h^2 - x^2 = -6h^2 + 2xh\sqrt{6} - x^2$ $8h^2 = 2xh\sqrt{6} \Rightarrow x = \frac{4h}{\sqrt{6}} = \frac{4h\sqrt{6}}{6} = \frac{2h\sqrt{6}}{3}$. 6. Найдем $CD$: $CD^2 = 3h^2 - (\frac{2h\sqrt{6}}{3})^2 = 3h^2 - \frac{24h^2}{9} = 3h^2 - \frac{8h^2}{3} = \frac{h^2}{3} \Rightarrow CD = \frac{h}{\sqrt{3}}$. 7. В прямоугольном $\triangle MCD$ ($\angle C = 90^\circ$): $\operatorname{tg} \angle MDC = \frac{MC}{CD} = \frac{h}{h/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $\angle MDC = \operatorname{arctg} \sqrt{3} = 60^\circ$. **Ответ: 60°**.