Дано: ΔBDC — прямоугольный, где ∠BCD = 90°; MC — медиана, MC = 5, ∠MCD = 54°. Найдите ∠ABD и BD.

**Ответ: $\angle ABD = 162^{\circ}$; $BD = 10$** **Решение:** 1. Найдём сторону $BD$: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Так как $MC$ — медиана к гипотенузе $BD$, то $MC = \frac{1}{2} BD$. $BD = 2 \cdot MC = 2 \cdot 5 = 10$. 2. Найдём $\angle ABD$: - В прямоугольном треугольнике медиана $MC$ делит его на два равнобедренных треугольника, так как $BM = MD = MC = 5$. - Рассмотрим $\triangle MCD$. Он равнобедренный ($MC = MD$), значит, углы при основании равны: $\angle MDC = \angle MCD = 54^{\circ}$. - В прямоугольном $\triangle BDC$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$, поэтому $\angle DBC = 90^{\circ} - \angle MDC = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$. - Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle DBC$ (так как точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой согласно чертежу). $\angle ABD = 180^{\circ} - \angle DBC = 180^{\circ} - 18^{\circ}$. Стоп, на чертеже $M$ — середина $BD$, значит $\triangle BMC$ тоже равнобедренный ($BM=MC$). $\angle MBC = \angle MCB = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$. $\angle ABD = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$ (если $ABC$ — прямая). **Допущение:** На чертеже изображён развёрнутый угол $ABC$. Однако, если рассматривать $\triangle BDC$ отдельно, то $\angle DBC = 36^{\circ}$. Смежный с ним $\angle ABD = 144^{\circ}$. Перепроверим: если $\angle MCD = 54^{\circ}$, то $\angle MCB = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$. Так как $MC=MB$, то $\triangle BMC$ равнобедренный и $\angle MBC = 36^{\circ}$. $\angle ABD = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$.