Дано: MA ⊥ (ABC), ∠MBC = 45°, ∠ACB = 90°, MA = AC. Найти: ∠AMB.

Ответ: 60° Решение: 1. Так как $MA \perp (ABC)$, то прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ — прямоугольные ($\angle MAB = 90^\circ, \angle MAC = 90^circ$). 2. Пусть $MA = AC = a$. Тогда в прямоугольном $\triangle MAC$: $MC = \sqrt{MA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. 3. По условию $BC \perp AC$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $AC$ — проекция $MC$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $BC \perp AC$, то $BC \perp MC$. Значит, $\triangle MBC$ — прямоугольный ($\angle MCB = 90^\circ$). 4. В $\triangle MBC$: $\angle MBC = 45^\circ$, значит $\triangle MBC$ — равнобедренный, $BC = MC = a\sqrt{2}$. 5. В основании лежит прямоугольный $\triangle ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. 6. Рассмотрим прямоугольный $\triangle MAB$: $\text{tg}(\angle AMB) = \frac{AB}{MA} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$. 7. Если $\text{tg}(x) = \sqrt{3}$, то $x = 60^\circ$.