573. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 25 см и 39 см, площади его диагональных сечений — 204 см^2 и 336 см^2. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть стороны основания параллелепипеда равны $a = 25$ см и $b = 39$ см, а высота $H$. Диагональные сечения представляют собой прямоугольники, стороны которых — боковое ребро (высота $H$) и диагональ основания ($d_1$ или $d_2$). Площадь такого сечения равна произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда: $S_1 = d_1 \cdot H = 204$ $S_2 = d_2 \cdot H = 336$ Выразим $H$ через диагонали: $H = \frac{204}{d_1} = \frac{336}{d_2}$, откуда $\frac{d_1}{d_2} = \frac{204}{336} = \frac{17}{28}$. То есть $d_1 = 17k$ и $d_2 = 28k$. Используем свойство параллелограмма: $2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$. Подставим известные значения: $2(25^2 + 39^2) = (17k)^2 + (28k)^2$ $2(625 + 1521) = 289k^2 + 784k^2$ $2(2146) = 1073k^2$ $4292 = 1073k^2$ $k^2 = 4 \implies k = 2$. Тогда: $d_1 = 17 \cdot 2 = 34$ см $d_2 = 28 \cdot 2 = 56$ см Теперь найдем высоту $H$ из уравнения $S_1 = d_1 \cdot H$: $204 = 34 \cdot H \implies H = 6$ см. Площадь основания $S_{осн}$ для параллелепипеда с такими диагоналями можно найти через $1/2$ произведения диагоналей и синус угла между ними, но проще воспользоваться формулой площади параллелограмма $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. Для диагоналей $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^-\alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$ и $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$: $34^2 = 25^2 + 39^2 + 2 \cdot 25 \cdot 39 \cdot \cos\alpha$ $1156 = 625 + 1521 + 1950 \cdot \cos\alpha$ $1156 = 2146 + 1950 \cdot \cos\alpha$ $1950 \cdot \cos\alpha = -990 \implies \cos\alpha = -\frac{99}{195} = -\frac{33}{65}$. Тогда $\sin\alpha = \sqrt{1 - (-\frac{33}{65})^2} = \sqrt{\frac{4225-1089}{4225}} = \sqrt{\frac{3136}{4225}} = \frac{56}{65}$. $S_{осн} = 25 \cdot 39 \cdot \frac{56}{65} = 5 \cdot 39 \cdot \frac{56}{13} = 5 \cdot 3 \cdot 56 = 15 \cdot 56 = 840$ см$^2$. Объем $V = S_{осн} \cdot H = 840 \cdot 6 = 5040$ см$^3$. **Ответ: 5040 см³.**