Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Question

Вопрос:

Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $A$.** **Доказательство:** 1. По условию $AM$ — медиана, значит, точка $M$ делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2. Также по условию медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, то есть $AM = \frac{1}{2} BC$. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $AM = BM = MC$. 4. Рассмотрим треугольник $ABM$: так как $AM = BM$, он равнобедренный. Значит, углы при основании равны: $\angle MAB = ∠ B$. 5. Рассмотрим треугольник $ACM$: так как $AM = MC$, он равнобедренный. Значит, углы при основании равны: $\angle MAC = ∠ C$. 6. Угол $A$ треугольника $ABC$ состоит из двух углов: $∠ A = ∠ MAB + ∠ MAC = ∠ B + ∠ C$. 7. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$. 8. Подставим выражение из пункта 6 в сумму углов: $∠ A + ∠ A = 180^{\circ}$, следовательно, $2 ∠ A = 180^{\circ}$, откуда $∠ A = 90^{\circ}$. 9. Так как один из углов треугольника прямой, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Что и требовалось доказать.

Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Ответ ассистента

Другие решения