Какова градусная мера угла C, изображенного на рисунке 51?

Ответ: $100^{\circ}$ Решение: 1. Рассмотрим $\triangle ADE$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $\angle AED = 180^{\circ} - (\angle DAE + \angle ADE) = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 10^{\circ}) = 142^{\circ}$. 2. Углы $\angle AED$ и $\angle BEF$ являются вертикальными, значит $\angle BEF = \angle AED = 142^{\circ}$. 3. Рассмотрим $\triangle BEF$. Сумма его углов также $180^{\circ}$. $\angle BFE = 180^{\circ} - (\angle EBF + \angle BEF) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 142^{\circ})$. Заметим, что по рисунку точка $E$ лежит на пересечении отрезков $AF$ и $BD$. Тогда $\angle BEF$ и $\angle FEC$ — смежные. Однако, проще рассмотреть внешний угол треугольника. 4. Для $\triangle ABF$: внешний угол $\angle BFC = \angle BAF + \angle ABF = 28^{\circ} + 72^{\circ} = 100^{\circ}$. 5. Рассмотрим $\triangle ADC$: внешний угол $\angle BDC = \angle DAC + \angle DCA$. Но данных недостаточно для этого пути. 6. Вернемся к $\triangle AFC$. В $\triangle ABF$ угол $\angle B = 72^{\circ}$, $\angle A = 28^{\circ}$. Внешний угол $\triangle AFC$ при вершине $F$ (угол $\angle BFC$) равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BFC = \angle FAC + \angle FCA$ — это неверно. Правильный путь через сумму углов большого треугольника $\triangle ABC$: $\angle A = 28^{\circ}$ $\angle B = 72^{\circ}$ В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. **Допущение**: Если под углом $B$ подразумевается весь угол треугольника $ABC$, то $\angle C = 80^{\circ}$. Однако, на рисунке дуга угла $72^{\circ}$ относится только к части угла при вершине $B$. Пересчитаем через треугольник $AFC$: В $\triangle ADF$ угол $\angle ADF$ является внешним для $\triangle BDC$ или наоборот. Заметим, что $\angle BFC$ является внешним углом для $\triangle AFC$. В $\triangle ABF$: $\angle B = 72^{\circ}, \angle A = 28^{\circ}$. Тогда внешний угол при вершине $F$ ($\angle BFC$) не определить без $\angle AFB$. Посмотрим на треугольник $ABC$ целиком. Если лучи $AD$ и $BF$ пересекаются в точке $E$, а $AC$ и $BC$ — стороны: В $\triangle EAB$: $\angle EAB = 28^{\circ}, \angle EBA = 72^{\circ}$. Тогда $\angle AEB = 180 - (28+72) = 80^{\circ}$. Угол $\angle CED = \angle AEB = 80^{\circ}$ (вертикальные). В четырехугольнике $EDCF$ или через углы треугольников: Если рассматривать $\triangle ABC$, где $\angle A = 28^{\circ}$ и $\angle B = 72^{\circ}$, то $\angle C = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 72^{\circ} = 80^{\circ}$.