1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображенного на рисунке 51? 4. Докажите, что AB = CD (рис. 52), если известно, что AB || CD и BO = CO. 5. В треугольнике ABC известно, что угол C = 90 градусов, угол A = 60 градусов. На катете BC отметили точку K такую, что угол AKC = 60 градусов. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.

Question

Вопрос:

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50). 3. Какова градусная мера угла С, изображенного на рисунке 51? 4. Докажите, что AB = CD (рис. 52), если известно, что AB || CD и BO = CO. 5. В треугольнике ABC известно, что угол C = 90 градусов, угол A = 60 градусов. На катете BC отметили точку K такую, что угол AKC = 60 градусов. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. **Ответ: 64°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма двух углов при основании). 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. 2. **Ответ: 137°** На рисунке 50 углы $ABC = 43^{\circ}$ и $DCE$ являются соответственными при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $MF$ (так как на чертеже показаны еще накрест лежащие углы по $43^{\circ}$ при прямых $AB$ и $MK$, что подтверждает параллельность). Однако, если рассматривать угол $DCE$ как смежный с углом в $43^{\circ}$ (если предположить, что $BC$ и $CE$ лежат на одной прямой): $180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$. По рисунку видно, что угол $DCE$ тупой и равен $180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$. 3. **Ответ: 70°** (на основании суммы углов треугольника) Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $A$ состоит из двух частей: $28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. Угол $B$ равен $72^{\circ}$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$: $\\angle C = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. 4. **Решение:** Рассмотрим $\\triangle ABO$ и $\\triangle DCO$: 1) $\\angle AOB = \\angle DOC$ как вертикальные. 2) $\\angle OAB = \\angle ODC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AB \\parallel CD$ и секущей $AD$. 3) $BO = CO$ по условию. Следовательно, $\\triangle ABO = \\triangle DCO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$. 5. **Ответ: 12 см** В треугольнике $ABC$: $\\angle C = 90^{\circ}$, $\\angle A = 60^{\circ}$, значит $\\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Рассмотрим $\\triangle KBC$. Нам дано, что $\\angle AKC = 60^{\circ}$. Так как $\\angle AKC$ — внешний угол для $\\triangle KBC$, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\\angle AKC = \\angle KBC + \\angle BKC$ $60^{\circ} = 30^{\circ} + \\angle BKC$, откуда $\\angle BKC = 30^{\circ}$. Так как в $\\triangle KBC$ два угла равны ($\\angle KBC = \\angle BKC = 30^{\circ}$), треугольник равнобедренный. Значит, $CK = BK = 12$ см.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения