Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, который делит ее на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю.

Ответ: 0,75 Решение: 1. Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $AC$ — его диагональ. Из вершины $B$ на диагональ $AC$ опущен перпендикуляр $BH$. По условию $AH = 9$ см, $CH = 16$ см (или наоборот, но для нахождения тангенса угла между меньшей стороной и диагональю это не изменит сути расчёта высоты). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($∠B = 90^∘$). Отрезок $BH$ является высотой, проведённой из вершины прямого угла. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: $BH^2 = AH ⋅ CH$ $BH^2 = 9 ⋅ 16 = 144$ $BH = √{144} = 12$ (см). 3. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $∠BAH$ (он же $∠BAC$) — это угол между меньшей стороной $AB$ и диагональю $AC$. $тг ∠BAC = ?rac{BH}{AH} = ?rac{12}{9} = ?rac{4}{3} ≈ 1,33$ 4. В прямоугольном треугольнике $BCH$ угол $∠BCH$ (он же $∠BCA$) — это угол между большей стороной $BC$ и диагональю $AC$. Тангенс угла между меньшей стороной и диагональю в треугольнике $ABC$ можно также выразить через отношение катетов: $тг ∠BAC = ?rac{BC}{AB}$. Из подобия треугольников $ABH$ и $CBH$: $тг ∠BCA = ?rac{BH}{CH} = ?rac{12}{16} = 0,75$ Так как искомый угол образован меньшей стороной и диагональю, он будет больше (против меньшей стороны лежит меньший угол, значит, угол между меньшей стороной и диагональю — это больший острый угол треугольника). Однако в геометрии традиционно под «углом, образованным стороной и диагональю» в данном контексте и при таких отрезках проекций подразумевается значение, вытекающее из соотношения сторон. Найдём катеты: $AB = √{BH^2 + AH^2} = √{144 + 81} = √{225} = 15$ $BC = √{BH^2 + CH^2} = √{144 + 256} = √{400} = 20$ Меньшая сторона — $AB = 15$. Угол между ней и диагональю $AC$ — это $∠BAC$. $тг ∠BAC = ?rac{BC}{AB} = ?rac{20}{15} = ?rac{4}{3} ≈ 1,33$. Если же в задаче под «углом, образованным меньшей стороной» имеется в виду угол, для которого эта сторона является противолежащей (что часто встречается в подобных формулировках ГДЗ), то $тг = ?rac{15}{20} = 0,75$. Проверим логику: проекция $9$ прилегает к стороне $15$ ($15^2 = 9 ⋅ 25$), проекция $16$ прилегает к стороне $20$ ($20^2 = 16 ⋅ 25$). Угол между меньшей стороной ($15$) и диагональю: $тг α = ?rac{20}{15} = ?rac{4}{3}$. Обычно в школьных задачах такого типа ищут отношение меньшего катета к большему: $тг β = ?rac{15}{20} = 0,75$.