Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

**Ответ: 61 см** Пусть один отрезок гипотенузы равен $x$ см, тогда второй отрезок равен $(x + 11)$ см. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотезе, её квадрат равен произведению отрезков гипотенузы: $$h^2 = x \cdot (x + 11)$$ Также известно, что катеты $a$ и $b$ относятся как $6:5$. Квадраты катетов относятся как отрезки гипотенузы, на которые их делит высота: $$\frac{a^2}{b^2} = \frac{x+11}{x} = \left(\frac{6}{5}\right)^2$$ Решим уравнение: $$\frac{x+11}{x} = \frac{36}{25}$$ $$25(x + 11) = 36x$$ $$25x + 275 = 36x$$ $$11x = 275$$ $$x = 25$$ Длина первого отрезка гипотенузы — $25$ см, длина второго — $25 + 11 = 36$ см. Найдём всю гипотенузу: $$25 + 36 = 61 \text{ (см)}$$