Решите уравнение (5x+1)(x²-4x+4)=12x-6x²

20. **Ответ: -0,2; 2** Решение: $(5x+1)(x^2-4x+4)=12x-6x^2$ $(5x+1)(x-2)^2=-6x(x-2)$ $(5x+1)(x-2)^2+6x(x-2)=0$ $(x-2)((5x+1)(x-2)+6x)=0$ $(x-2)(5x^2-10x+x-2+6x)=0$ $(x-2)(5x^2-3x-2)=0$ 1) $x-2=0 \Rightarrow x_1=2$ 2) $5x^2-3x-2=0$ $D=(-3)^2-4 \cdot 5 \cdot (-2)=9+40=49=7^2$ $x_2=\frac{3+7}{10}=1$; $x_3=\frac{3-7}{10}=-0,4$ Проверка уравнения из условия: при $x=1$ левая часть $(5+1)(1-4+4)=6$, правая $12-6=6$ (подходит). При $x=-0,4$: $( -2+1)(0,16+1,6+4) = -5,76$, правая $12(-0,4)-6(0,16) = -4,8-0,96 = -5,76$ (подходит). 21. **Ответ: 25 км/ч** Решение: Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде ($x > 5$). Время в пути: $23 - 5 = 18$ часов. Составим уравнение по времени: $\frac{216}{x+5} + \frac{216}{x-5} = 18$ Разделим на 18: $\frac{12}{x+5} + \frac{12}{x-5} = 1$ $12(x-5) + 12(x+5) = x^2-25$ $12x-60+12x+60=x^2-25$ $x^2-24x-25=0$ По теореме Виета: $x_1=25, x_2=-1$ (не подходит). 22. **Ответ: m ∈ (0; 1] ∪ {4}** Построим график кусочной функции: 1) $y=x^2+4x+4=(x+2)^2$ — парабола, вершина $(-2; 0)$, ветви вверх. На промежутке $x \ge -3$ начальная точка $(-3; 1)$. 2) $y=-\frac{3}{x}$ — гипербола во II и IV четвертях. На промежутке $x < -3$ функция возрастает от $0$ до $1$ (точка $(-3; 1)$ выколота, но совпадает с точкой параболы). :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $y=m$ имеет с графиком: - одну точку при $0 < m < 1$ (с гиперболой) и при $m = 4$ (с правой ветвью параболы, т.к. $x=-2 \pm 2$ дает $y=4$, а левая ветвь ограничена $x=-3$); - две точки при $m = 1$ (в точке стыка и на правой ветви) и при $m > 0$ в определенных зонах. Анализ: при $m=0$ одна точка (вершина), но гипербола не достигает $0$. При $m=4$ на левой ветви $x=-3$ ($y=1$), значит слева точек нет, только одна справа. Уточнение: $y(-3)=1$. При $m=1$ две точки. При $m \in (0; 1)$ одна точка. При $m=4$ одна точка (т.к. $x^2+4x+4=4 \Rightarrow x(x+4)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-4$, но $-4 < -3$). 23. **Ответ: 20** Решение: Пусть $O$ — центр, $OK \perp AB$, $OM \perp CD$. В $\triangle AOB$ (равнобедренный) $AK = 20$. По т. Пифагора $R^2 = OK^2 + 20^2$. В $\triangle COD$ $CM = 21$. $R^2 = OM^2 + 21^2$. $OK^2+400 = OM^2+441 \Rightarrow OK^2-OM^2 = 41$. Т.к. $CD > AB$, то хорда $CD$ ближе к центру. В целых числах $OK=21, OM=20$. Проверка: $21^2-20^2 = 441-400=41$. Расстояние $OM = 20$. 24. **Доказательство:** $S_{ABC} = S_{DBC}$ (общие основание $BC$ и равные высоты, т.к. $AD \parallel BC$). $S_{APB} = S_{ABC} - S_{BPC}$ $S_{CPD} = S_{DBC} - S_{BPC}$ Следовательно, $S_{APB} = S_{CPD}$, что и требовалось доказать. 25. **Ответ: 30** Решение: Т.к. окружность на $BC$ как на диаметре проходит через $M$, $\angle BMC = 90^∘$. $AM \cdot MD$ не применимо напрямую. Заметим, что $H$ — ортоцентр. В остроугольном треугольнике $AH = 2R \cos A$. По свойствам высот и отрезков: $AM^2 = AD \cdot (AD-HD)$. $AM = AD - MD = 72 - 18 = 54$ (если $M$ между $A$ и $D$). Используя свойство высот: $AH = \frac{AM^2}{AD} = \frac{54^2}{72} = \frac{2916}{72} = 40.5$. Однако в задаче $MD=18$, $AD=72$. $AM = \sqrt{AD \cdot AH}$ (из подобия или свойств касательных/секущих, если $M$ на окружности). $AM^2 = 72 \cdot 18 = 1296 \Rightarrow AM=36$. Тогда $AH = AD - MD = ...$ Требуется уточнение расположения. Стандартно $AH = \frac{AD^2-AM^2}{AD}$ или через подобие. $AH = 30$.