Найдите произведение корней уравнения x^3 - 3x^2 - 2x + 6 = 0.

1. Чтобы найти произведение корней кубического уравнения $$x^3 - 3x^2 - 2x + 6 = 0$$, нужно сначала разложить его на множители. Можно заметить, что $x=3$ является корнем уравнения: $$3^3 - 3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 6 = 27 - 27 - 6 + 6 = 0$$ Значит, один из множителей $(x-3)$. Теперь разделим многочлен на $(x-3)$: $$(x^3 - 3x^2 - 2x + 6) : (x - 3) = x^2 - 2$$ Таким образом, уравнение можно записать как $$(x-3)(x^2-2) = 0$$. Корни уравнения: $$x-3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$$ $$x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = \sqrt{2}$$ Произведение корней равно: $$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 3 \cdot (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot (-2) = -6$$ **Ответ: -6** 2. Пусть скорость корабля в стоячей воде будет $v_к$ км/ч, а скорость течения реки $v_т$ км/ч. Тогда скорость корабля по течению $v_к + v_т$ км/ч, а против течения $v_к - v_т$ км/ч. По условию задачи, корабль прошел 288 км по течению и 200 км против течения за 11 часов. Составим уравнение: $$\frac{288}{v_к + v_т} + \frac{200}{v_к - v_т} = 11 \quad (1)$$ Также известно, что за это же время он мог пройти 240 км по течению и 240 км против течения. Это значит, что если бы он прошел 240 км по течению и 240 км против течения, то время было бы такое же, как в первом случае, то есть 11 часов. Составим второе уравнение: $$\frac{240}{v_к + v_т} + \frac{240}{v_к - v_т} = 11 \quad (2)$$ Введем замены: $x = \frac{1}{v_к + v_т}$ и $y = \frac{1}{v_к - v_т}$. Система уравнений примет вид: $$288x + 200y = 11 \quad (1)$$ $$240x + 240y = 11 \quad (2)$$ Из второго уравнения выразим $x$: $$240(x+y) = 11 \Rightarrow x+y = \frac{11}{240} \Rightarrow x = \frac{11}{240} - y$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$288\left(\frac{11}{240} - y\right) + 200y = 11$$ $$288 \cdot \frac{11}{240} - 288y + 200y = 11$$ $$\frac{12 \cdot 11}{10} - 88y = 11$$ $$13.2 - 88y = 11$$ $$-88y = 11 - 13.2$$ $$-88y = -2.2$$ $$y = \frac{-2.2}{-88} = \frac{22}{880} = \frac{1}{40}$$ Теперь найдем $x$: $$x = \frac{11}{240} - y = \frac{11}{240} - \frac{1}{40} = \frac{11}{240} - \frac{6}{240} = \frac{5}{240} = \frac{1}{48}$$ Вернемся к нашим заменам: $$\frac{1}{v_к + v_т} = \frac{1}{48} \Rightarrow v_к + v_т = 48$$ (скорость по течению) $$\frac{1}{v_к - v_т} = \frac{1}{40} \Rightarrow v_к - v_т = 40$$ (скорость против течения) Нас просят найти скорость корабля против течения реки. Это значение $v_к - v_т$. **Ответ: 40 км/ч** 3. Для построения графика функции $$y = \frac{(x-2)(x^2-3x-4)}{x^2-x-2}$$, сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители. Знаменатель: $$x^2-x-2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. $\sqrt{D} = 3$. $$x = \frac{1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$$ Значит, $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$. Числитель: $$x^2-3x-4 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$. $\sqrt{D} = 5$. $$x = \frac{3 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$$ Значит, $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$. Теперь подставим разложения в исходную функцию: $$y = \frac{(x-2)(x-4)(x+1)}{(x-2)(x+1)}$$ Сократим общие множители, но сначала укажем точки, в которых функция не определена: Знаменатель равен нулю при $x=2$ и $x=-1$. Эти точки являются выколотыми. Для $x \neq 2$ и $x \neq -1$, функция упрощается до: $$y = x-4$$ Итак, график функции - это прямая $y=x-4$ с двумя выколотыми точками. Найдем координаты выколотых точек: При $x = 2$: $y = 2-4 = -2$. Точка $(2, -2)$ выколота. При $x = -1$: $y = -1-4 = -5$. Точка $(-1, -5)$ выколота. Теперь построим график: :::div .chart-container @chart-1::: Теперь определим, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек. Это означает, что прямая $y=kx$ не пересекает график $y=x-4$ И не проходит через выколотые точки. Сначала найдем $k$, при которых прямые $y=kx$ и $y=x-4$ параллельны. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны: $$k = 1$$ В этом случае прямые параллельны и не имеют общих точек, так как $y=x$ и $y=x-4$ - это две разные прямые. Теперь найдем $k$, при которых прямая $y=kx$ проходит через выколотые точки: 1. Через точку $(2, -2)$: $$-2 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -1$$ 2. Через точку $(-1, -5)$: $$-5 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = 5$$ Значения $k$, при которых прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек, это $k=1$, $k=-1$ и $k=5$. **Ответ: $k \in \{-1, 1, 5\}$**