Решите систему уравнений: $x^2 + y^2 = 40$, $xy = -12$

1. Чтобы решить систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 40 \\ xy = -12 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = -\frac{12}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 40$$ $$x^2 + \frac{144}{x^2} = 40$$ Умножим всё на $x^2$ (при условии $x \neq 0$): $$x^4 + 144 = 40x^2$$ $$x^4 - 40x^2 + 144 = 0$$ Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$): $$t^2 - 40t + 144 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024$$ $\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$. Найдем корни $t_1, t_2$: $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 32}{2}$$ $$t_1 = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$t_2 = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Вернемся к замене $t = x^2$: Для $t_1 = 36$: $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$ Для $t_2 = 4$: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ Найдем соответствующие значения $y$ с помощью $y = -\frac{12}{x}$: Если $x = 6$, то $y = -\frac{12}{6} = -2$ Если $x = -6$, то $y = -\frac{12}{-6} = 2$ Если $x = 2$, то $y = -\frac{12}{2} = -6$ Если $x = -2$, то $y = -\frac{12}{-2} = 6$ **Ответ:** $(6; -2), (-6; 2), (2; -6), (-2; 6)$