Привет! Давай разберем твои задания по порядку. Если есть вопросы по конкретному шагу, обязательно спрашивай!
1. Решите уравнение $1 - \sqrt{x-2} = x - 1$
Перенесем слагаемые: $2 - x = \sqrt{x-2}$. Заметим, что $-(x-2) = \sqrt{x-2}$. Пусть $t = \sqrt{x-2}$ ($t \ge 0$), тогда $-t^2 = t \implies t^2+t=0 \implies t(t+1)=0$. Корни $t=0$ или $t=-1$ (не подходит, так как $t \ge 0$). Значит, $\sqrt{x-2}=0 \implies x=2$.
**Ответ: 2**
2. Решите неравенство $6 \cdot 3^{x+2} - 3^x > 159$
Вынесем $3^x$: $3^x(6 \cdot 3^2 - 1) > 159 \implies 3^x(54 - 1) > 159 \implies 3^x \cdot 53 > 159 \implies 3^x > 3 \implies x > 1$.
**Ответ: (1; +\infty)**
3. Вычислите значение выражения $(\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} + 125^{\frac{1}{3}} \cdot (6^3)^0 - 49^{0.5}$
Вычисления:
$(\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = (8^3)^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16$
$125^{\frac{1}{3}} = 5$
$(6^3)^0 = 1$
$49^{0.5} = \sqrt{49} = 7$
Итого: $16 + 5 \cdot 1 - 7 = 16 + 5 - 7 = 14$.
**Ответ: 14**
4. Решите уравнение $\log_{16} 8 + \log_{16}(12x + 8) = 1$
По свойству логарифмов: $\log_{16}(8(12x + 8)) = 1$.
Переходим к степеням: $8(12x + 8) = 16^1 = 16 \implies 12x + 8 = 2 \implies 12x = -6 \implies x = -0.5$.
Проверка ОДЗ: $12(-0.5) + 8 = -6 + 8 = 2 > 0$ (верно).
**Ответ: -0.5**
5. Найдите точку максимума функции $f(x) = 5 + 12x - x^3$
Найдем производную: $f'(x) = 12 - 3x^2$.
Приравняем к нулю: $12 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Методом интервалов: при $x=0$ $f'(x)>0$, при $x=3$ $f'(x)<0$. Функция возрастает до -2, убывает после -2, возрастает после 2. Максимум в точке 2 (т.к. меняет знак с + на -).
**Ответ: 2**
6. Для функции $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$ найдите первообразную $F(x)$, если известно, что $F(-2) = -4$
$F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx = x^3 - 2x^2 + 2x + C$.
Подставим точку: $(-2)^3 - 2(-2)^2 + 2(-2) + C = -4 \implies -8 - 8 - 4 + C = -4 \implies -20 + C = -4 \implies C = 16$.
$F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16$.
**Ответ: F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16**
7. Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$
Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \implies -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \implies 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
Пусть $t = \sin x$, $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 8 = 1$. $t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$, $t_2 = \frac{3-1}{4} = 0.5$.
1) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2) $\sin x = 0.5 \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.
**Ответ: \frac{\pi}{2} + 2\pi n, (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$**
8. Докажите тождество $\frac{1-\sin^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = 1$
Левая часть: $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = 1$. Тождество доказано.
9. Образующая конуса 6 см и наклонена к основанию под углом $30^\circ$. Найдите объем конуса.
Высота $h = l \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3$ см.
Радиус $r = l \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \pi \cdot 27 = 27\pi$ см$^3$.
**Ответ: 27\pi см^3**
10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 16 см и 12 см, высота призмы равна 14 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Гипотенуза основания: $\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.
Периметр основания: $16 + 12 + 20 = 48$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = 0.5 \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$.
$S_{полн} = 2S_{осн} + P \cdot h = 2 \cdot 96 + 48 \cdot 14 = 192 + 672 = 864$ см$^2$.
**Ответ: 864 см^2**
