Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

8. Так как сечение проведено через середину высоты, коэффициент подобия меньшего конуса к большему $k = \frac{1}{2}$. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Объем меньшего конуса: $168 \cdot \frac{1}{8} = 21$. Ответ: 21. 9. Раскроем скобки в числителе: $(5x-4y)^2 - (5x+4y)^2 = (25x^2 - 40xy + 16y^2) - (25x^2 + 40xy + 16y^2) = -80xy$. Теперь делим: $\frac{-80xy}{-16xy} = 5$. Ответ: 5. 10. Подставим данные в формулу: $\phi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$. $3000 = 40t + \frac{4t^2}{2}$, значит $3000 = 40t + 2t^2$. Разделим на 2: $t^2 + 20t - 1500 = 0$. Корни уравнения: $D = 20^2 - 4(1)(-1500) = 400 + 6000 = 6400$. $t_1 = \frac{-20+80}{2} = 30$, $t_2 = -50$ (не подходит). Ответ: 30. 11. Пусть $v$ — скорость из А в В. Время в пути $t = \frac{98}{v}$. На обратный путь затрачено время $\frac{98}{v+7} + 7$ (7 часов — это время стоянки). По условию время одинаковое: $\frac{98}{v} = \frac{98}{v+7} + 7$. Сократим на 7: $\frac{14}{v} = \frac{14}{v+7} + 1$. Получаем: $14(v+7) = 14v + v(v+7) \Rightarrow 14v + 98 = 14v + v^2 + 7v \Rightarrow v^2 + 7v - 98 = 0$. Корни: $v = 7$ и $v = -14$. Ответ: 7 км/ч. 12. Найдем производную: $y' = (x+14)' \cdot e^{14-x} + (x+14) \cdot (e^{14-x})' = e^{14-x} + (x+14) \cdot e^{14-x} \cdot (-1) = e^{14-x} (1 - x - 14) = e^{14-x} (-x - 13)$. Приравняем к нулю: $-x - 13 = 0 \Rightarrow x = -13$. Ответ: -13. 13. $\sqrt{3}\sin2x + 3\cos2x = 0 \Rightarrow \sqrt{3}\sin2x = -3\cos2x \Rightarrow \tan2x = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$. $2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$. Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.